Вправа 5.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.25. Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами:
1) $5$ см, $5$ см, $6$ см; 2) $25$ см, $29$ см, $36$ см.
1) Сторони $5$, $5$, $6$
$p=\dfrac{5+5+6}{2}=8$ (см).
$S=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12$ (см²).
$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ (см).
$R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=$
$=\dfrac{150}{48}=\dfrac{25}{8}=3{,}125$ (см).
2) Сторони $25$, $29$, $36$
$p=\dfrac{25+29+36}{2}=45$ (см).
$S=\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9}=\sqrt{129600}=360$ (см²).
$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{360}{45}=8$ (см).
$R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{25\cdot 29\cdot 36}{4\cdot 360}=$
$=\dfrac{26100}{1440}=\dfrac{145}{8}=18{,}125$ (см).
Площа за формулою Герона
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.
Радіус вписаного кола
$r=\dfrac{S}{p}$.
Радіус описаного кола
$R=\dfrac{abc}{4S}$.
Спільний крок — площа. Обидва радіуси виражаються через площу, тому спершу за Героном знаходимо $S$, а далі підставляємо в дві окремі формули. Сторони відомі, кутів немає — Герон тут найкоротший шлях.
Не плутай формули. Для вписаного кола — $r=\dfrac{S}{p}$ (ділимо на півпериметр). Для описаного — $R=\dfrac{abc}{4S}$ (добуток усіх трьох сторін поділити на $4S$). Часта помилка — переставити їх місцями.
Описане більше за вписане. Описане коло проходить через вершини (трикутник «всередині»), вписане — торкається сторін (воно «всередині» трикутника). Тому завжди $R>r$, що й видно у відповідях: $3{,}125>1{,}5$ і $18{,}125>8$.
Гарні числа. У пункті 2 під коренем $129600=360^2$ — корінь добувається точно. Це підказка, що задача складена «під рівну» площу, тож проміжний результат можна перевірити: якщо корінь не добувся — десь помилка в обчисленнях.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.