Вправа 5.28 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.28. Чи може площа трикутника зі сторонами $4$ см і $6$ см дорівнювати: 1) $6$ см²; 2) $14$ см²; 3) $12$ см²? Поясніть, як ви міркували. Обговоріть свою думку в класі.
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin\gamma=12\sin\gamma$.
$0<\sin\gamma\leqslant 1$, тому $0<S\leqslant 12$ (см²).
1) $S=6$
$\sin\gamma=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\leqslant 1$ — можливо.
2) $S=14$
$\sin\gamma=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6}>1$ — неможливо.
3) $S=12$
$\sin\gamma=\dfrac{12}{12}=1$, $\gamma=90^{\circ}$ — можливо.
Площа трикутника за двома сторонами і кутом
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.
Межі синуса кута
$0<\sin\gamma\leqslant 1$ для $0^{\circ}<\gamma<180^{\circ}$.
Головна ідея. При фіксованих сторонах $4$ і $6$ площа залежить лише від кута між ними: $S=12\sin\gamma$. Найбільший синус — це $1$ (при $\gamma=90^{\circ}$), тому площа не може перевищити $12$ см². Це максимальна площа такого трикутника.
Чому $14$ не підходить. Для $S=14$ потрібно $\sin\gamma=\dfrac{7}{6}>1$, а синус кута більшим за $1$ не буває. Такого трикутника не існує.
Геометричний зміст максимуму. Площа найбільша, коли сторони перпендикулярні. Якщо «розкривати» або «складати» кут від $90^{\circ}$ — площа зменшується. Тому значення $12$ — це межа, її трикутник досягає рівно в прямокутному випадку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.