Вправа 5.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.27. Який трикутник із двома даними сторонами має найбільшу площу?
Інтерактивну ілюстрацію (трикутник зі сторонами $a$, $b$ і змінним кутом) дивіться в аплеті GeoGebra: geogebra.org/m/dmfrwz7s.
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha$, де $\alpha$ — кут між даними сторонами $a$ і $b$.
Сторони $a$ і $b$ сталі, тому $S$ залежить лише від $\sin\alpha$.
$0<\sin\alpha\leqslant 1$, причому $\sin\alpha=1$ при $\alpha=90^{\circ}$.
$S_{\max}=\dfrac{1}{2}ab$ — при $\alpha=90^{\circ}$.
Площа трикутника за двома сторонами і кутом
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha$.
Межі синуса
$0<\sin\alpha\leqslant 1$ для $0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$;
$\sin\alpha=1$ лише при $\alpha=90^{\circ}$.
Що означає «дані сторони». Дві сторони $a$ і $b$ зафіксовані, а трикутник можна «розкривати» чи «складати», змінюючи кут $\alpha$ між ними. Питання — при якому куті площа найбільша.
Усе вирішує синус. У формулі $S=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha$ множник $\dfrac{1}{2}ab$ сталий. Значить площа найбільша тоді, коли найбільший $\sin\alpha$. А синус не перевищує $1$ і дорівнює $1$ рівно при $\alpha=90^{\circ}$.
Наочно в аплеті. Натискаючи «Інший трикутник», видно, що при тому самому куті більший добуток сторін дає більшу площу, а при фіксованих сторонах площа зростає, коли кут наближається до прямого. У прямокутному трикутнику площа $\dfrac{1}{2}ab$ — це й є максимум.
Часта помилка. Можна подумати, що «найбільший» — це тупий кут, бо трикутник виглядає «ширшим». Але $\sin\alpha$ при тупому куті менший за $1$ (наприклад, $\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}$), тому площа спадає. Максимум — саме на $90^{\circ}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.