Вправа 5.30 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.30. Площі трикутників $ABC$ і $A_1B_1C_1$ відповідно дорівнюють $S$ і $S_1$. Відомо, що кути трикутників при вершинах $A$ і $A_1$ рівні. Доведіть, що $\dfrac{S}{S_1}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$.
Дано
$\triangle ABC$, $\triangle A_1B_1C_1$
$S_{ABC}=S$, $S_{A_1B_1C_1}=S_1$
$\angle A=\angle A_1$
Довести
$\dfrac{S}{S_1}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$.
$S_1=\dfrac{1}{2}\cdot A_1B_1\cdot A_1C_1\cdot\sin A_1$.
$\dfrac{S}{S_1}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A}{\frac{1}{2}\cdot A_1B_1\cdot A_1C_1\cdot\sin A_1}$.
$\angle A=\angle A_1\;\Rightarrow\;\sin A=\sin A_1$.
$\dfrac{S}{S_1}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$.
Що й треба було довести.
Площа трикутника за двома сторонами і кутом
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$,
де $a$, $b$ — сторони, $\gamma$ — кут між ними.
Рівні кути — рівні синуси
Якщо $\angle A=\angle A_1$, то $\sin A=\sin A_1$.
Ключ — формула площі через кут. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними. Кут при вершині $A$ лежить саме між сторонами $AB$ і $AC$, тому $S=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A$. Так само для другого трикутника.
Чому скорочується $\sin$. Кути при $A$ і $A_1$ рівні, отже їхні синуси теж рівні. У дробі $\dfrac{S}{S_1}$ множники $\dfrac{1}{2}$ і $\sin A=\sin A_1$ є і в чисельнику, і в знаменнику — вони скорочуються. Лишається саме потрібне відношення сторін.
Подібність тут не потрібна. Трикутники не обов'язково подібні — рівний лише один кут. Але цього досить: формула $\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ використовує тільки дві сторони і кут між ними, тому решта елементів значення не має.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.