Вправа 5.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.31. Знайдіть відношення площ $S_1$ і $S_2$ трикутників, зображених на рисунку 5.7 (довжини відрізків дано в сантиметрах).
а)
Спільний кут при вершині; сторона-висота (зелена) спільна.
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot 3\cdot d\sin\alpha}{\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d\sin\alpha}=\dfrac{3}{1}=3$.
б)
Кути при спільній вершині вертикальні (рівні); сторони з рисками рівні: позначимо $m$.
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot m\sin\varphi}{\frac{1}{2}\cdot 4\cdot m\sin\varphi}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
в)
Кути при спільній вершині вертикальні (рівні).
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1\cdot\sin\varphi}{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5\cdot\sin\varphi}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.
Площа трикутника за двома сторонами і кутом
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.
Відношення площ при рівному куті
$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{a_1 b_1}{a_2 b_2}$, якщо кути між цими сторонами рівні.
Вертикальні кути
Вертикальні кути рівні, тому їхні синуси теж рівні.
Одна ідея на всі три. Скрізь площа береться за формулою $S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$, а кут $\gamma$ в обох трикутниках пари однаковий. Тому $\sin\gamma$ і множник $\dfrac{1}{2}$ скорочуються, і відношення площ дорівнює відношенню добутків сторін, що утворюють цей кут.
а) спільна сторона. Зелений відрізок — спільна сторона обох трикутників, кут при верхній вершині спільний. Лишається відношення других сторін: $3:1=3$.
б) рисочки — підказка. Однакові рисочки означають рівні сторони ($m$). Кути при точці перетину вертикальні, тож рівні. У відношенні залишаються тільки $2$ і $4$: $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. Рівну сторону $m$ окремо знаходити не треба — вона скорочується.
в) обидві сторони відомі. Тут дано всі чотири відрізки біля вертикальних кутів: $\dfrac{4\cdot 1}{2\cdot 5}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.
Часта помилка. Не треба шукати самі площі — у задачі немає висот, та вони й не потрібні. Достатньо рівного кута і формули $\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.