Вправа 5.35 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.35. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює $R$, а два кути трикутника дорівнюють $\alpha$ і $\beta$. Знайдіть площу трикутника.
Дано
$\triangle ABC$
$R$ — радіус описаного кола
$\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$
Знайти
$S - ?$
$\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$.
$a=2R\sin\alpha$, $b=2R\sin\beta$.
$\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=$
$=\dfrac{1}{2}\cdot 2R\sin\alpha\cdot 2R\sin\beta\cdot\sin(\alpha+\beta)=$
$=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)$.
Сума кутів трикутника
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
Теорема синусів (через $R$)
$\dfrac{a}{\sin A}=2R\;\Rightarrow\;a=2R\sin A$.
Площа за двома сторонами і кутом
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$.
Формула зведення
$\sin(180^{\circ}-x)=\sin x$, тому $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
Чому зручний саме $R$. Теорема синусів у повній формі дає $\dfrac{a}{\sin A}=2R$, тобто кожну сторону можна виразити прямо через радіус описаного кола і протилежний кут: $a=2R\sin\alpha$, $b=2R\sin\beta$. Це і є місток від кутів до сторін.
Третій кут потрібен для площі. Площу беремо за двома сторонами $a$, $b$ і кутом між ними — це кут $C$. Його знаходимо із суми кутів: $\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$, а $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
Складання формул. Підставивши $a=2R\sin\alpha$ і $b=2R\sin\beta$ у $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$, отримуємо $2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)$. Усі три синуси — кутів трикутника, бо $\alpha+\beta$ і є доповнення до $\gamma$.
Симетричність. $\alpha$ і $\beta$ у відповіді рівноправні — їх можна поміняти місцями. Це природно: байдуже, який із двох даних кутів назвати першим.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.