Вправа 5.36 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.36. У трикутнику $ABC$ відомо, що $AC=b$, $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$. Знайдіть площу трикутника.
Дано
$\triangle ABC$
$AC=b$
$\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$
Знайти
$S - ?$
$\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$.
$\dfrac{BC}{\sin\alpha}=\dfrac{AC}{\sin\beta}\;\Rightarrow\;BC=\dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}$.
$\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C=$
$=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\sin(\alpha+\beta)=$
$=\dfrac{b^2\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\beta}$.
Сума кутів трикутника
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
Площа за двома сторонами і кутом
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.
Формула зведення
$\sin(180^{\circ}-x)=\sin x$, тому $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$.
Що проти чого. Сторона $AC=b$ лежить проти кута $B=\beta$ (вершина $B$ не належить цій стороні). Це важливо для теореми синусів: пара «сторона — протилежний кут» тут $b$ і $\beta$.
Знаходимо другу сторону. Для площі потрібні дві сторони і кут між ними. Беремо ще $BC$ — вона проти кута $A=\alpha$, тому $\dfrac{BC}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, звідки $BC=\dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}$.
Кут між $AC$ і $BC$. Ці дві сторони сходяться у вершині $C$, тому кут між ними — це $\angle C=180^{\circ}-\alpha-\beta$, а $\sin C=\sin(\alpha+\beta)$. Підставляємо в $S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin C$.
Відмінність від 5.34. Там була дана сторона між двома кутами; тут дано сторону, протилежну одному з кутів. Через це у відповіді з'являється $\sin\beta$ у знаменнику, а не $\sin(\alpha+\beta)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.