Вправа 5.37 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
5.37. У трикутнику $ABC$ кут $A$ дорівнює $\alpha$, а висоти $BD$ і $CE$ дорівнюють відповідно $h_1$ і $h_2$. Знайдіть площу трикутника $ABC$.
Дано
$\triangle ABC$
$\angle A=\alpha$
$BD=h_1$, $CE=h_2$ — висоти
Знайти
$S_{ABC} - ?$
$BD\perp AC$, з $\triangle ABD$: $AB=\dfrac{h_1}{\sin\alpha}$.
$CE\perp AB$, з $\triangle ACE$: $AC=\dfrac{h_2}{\sin\alpha}$.
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\alpha=$
$=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h_1}{\sin\alpha}\cdot\dfrac{h_2}{\sin\alpha}\cdot\sin\alpha=$
$=\dfrac{h_1 h_2}{2\sin\alpha}$.
Висота через сторону і кут
У прямокутному трикутнику катет дорівнює гіпотенузі, помноженій на синус протилежного кута:
$h=c\sin\alpha\;\Rightarrow\;c=\dfrac{h}{\sin\alpha}$.
Площа за двома сторонами і кутом між ними
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A$.
Звідки беруться сторони. Висота $BD$ опущена з вершини $B$ на сторону $AC$. У прямокутному трикутнику $ABD$ ($\angle D=90^{\circ}$) гіпотенуза — це сторона $AB$, а катет $BD=h_1$ лежить проти кута $A=\alpha$. Тому $h_1=AB\sin\alpha$, звідки $AB=\dfrac{h_1}{\sin\alpha}$.
Друга сторона — так само. Висота $CE$ опущена з $C$ на $AB$. У трикутнику $ACE$ катет $CE=h_2$ також лежить проти того самого кута $\alpha$, гіпотенуза — $AC$. Звідси $AC=\dfrac{h_2}{\sin\alpha}$.
Чому зручно брати кут $A$. Обидві висоти «спираються» на кут $\alpha$ при вершині $A$, тому через нього легко виразити обидві сторони $AB$ і $AC$. А ці дві сторони якраз сходяться у вершині $A$ — кут між ними і є $\alpha$, його одразу підставляємо у формулу площі.
Що скорочується. У добутку виходить $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h_1}{\sin\alpha}\cdot\dfrac{h_2}{\sin\alpha}\cdot\sin\alpha$ — один $\sin\alpha$ із чисельника гасить один із знаменника, лишається $\dfrac{h_1 h_2}{2\sin\alpha}$. Часта помилка — забути про скорочення і лишити $\sin^2\alpha$ у знаменнику.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.