Вправа 6.22 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.22. Нехай $a$ — довжина сторони правильного трикутника, $R$ і $r$ — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):
| $a$ | $R$ | $r$ |
|---|---|---|
| $6\sqrt{3}$ | ||
| $4\sqrt{3}$ | ||
| $2$ |
Для правильного трикутника зі стороною $a$:
$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, $R = 2r$.
1) Дано $a = 6\sqrt{3}$
$R = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ (см).
$r = \dfrac{R}{2} = 3$ (см).
2) Дано $R = 4\sqrt{3}$
$a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 12$ (см).
$r = \dfrac{R}{2} = 2\sqrt{3}$ (см).
3) Дано $r = 2$
$R = 2r = 4$ (см).
$a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ (см).
| $a$ | $R$ | $r$ |
|---|---|---|
| $6\sqrt{3}$ | $6$ | $3$ |
| $12$ | $4\sqrt{3}$ | $2\sqrt{3}$ |
| $4\sqrt{3}$ | $4$ | $2$ |
Радіуси для правильного трикутника
$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Радіус описаного кола вдвічі більший за радіус вписаного:
$R = 2r$.
Сторона через радіус
$a = R\sqrt{3} = 2r\sqrt{3}$.
Усе тримається на трьох зв'язках. Для правильного трикутника достатньо пам'ятати: $a=R\sqrt{3}$ і $R=2r$. Маючи будь-яку одну з трьох величин, дві інші знаходяться за один-два кроки.
Чому $R=2r$. Центр правильного трикутника ділить кожну медіану (вона ж висота) у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини. Більша частина — це $R$, менша — $r$, тому $R=2r$. Цей факт доводять у вправі 6.29.
Корінь не зникає випадково. У першому рядку $\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$ — корені скорочуються. У другому, навпаки, $4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=4\cdot 3=12$ — корінь «зникає» через множення. Слідкуй, де радикал скорочується, а де перетворюється на ціле.
Типова помилка. Плутати формули для $R$ і $r$ (вони відрізняються вдвічі) або застосовувати формули шестикутника замість трикутника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.