Вправа 6.23 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.23. Нехай $a$ — довжина сторони квадрата, $R$ і $r$ — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):
| $a$ | $R$ | $r$ |
|---|---|---|
| $8$ | ||
| $4$ | ||
| $\sqrt{2}$ |
Для квадрата зі стороною $a$:
$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (половина діагоналі), $r = \dfrac{a}{2}$, $a = R\sqrt{2} = 2r$.
1) Дано $a = 8$
$R = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ (см).
$r = \dfrac{8}{2} = 4$ (см).
2) Дано $R = 4$
$a = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ (см).
$r = \dfrac{a}{2} = 2\sqrt{2}$ (см).
3) Дано $r = \sqrt{2}$
$a = 2r = 2\sqrt{2}$ (см).
$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} = 2$ (см).
| $a$ | $R$ | $r$ |
|---|---|---|
| $8$ | $4\sqrt{2}$ | $4$ |
| $4\sqrt{2}$ | $4$ | $2\sqrt{2}$ |
| $2\sqrt{2}$ | $2$ | $\sqrt{2}$ |
Радіуси для квадрата
$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}, \quad r = \dfrac{a}{2}$.
Радіус описаного кола — половина діагоналі; радіус вписаного — половина сторони.
Сторона через радіус
$a = R\sqrt{2} = 2r$.
Звідки формули. Описане коло проходить через вершини, його діаметр — це діагональ квадрата $d=a\sqrt{2}$, тому $R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Вписане коло торкається сторін, його діаметр дорівнює стороні, тому $r=\dfrac{a}{2}$.
Відмінність від трикутника. У трикутнику було $R=2r$, а в квадраті співвідношення інше: $\dfrac{R}{r}=\dfrac{a\sqrt{2}/2}{a/2}=\sqrt{2}$. Тому формули для різних многокутників не можна переносити одну на одну.
Робота з коренем. У третьому рядку $\dfrac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\cdot 2}{2}=2$ — корінь зникає, бо $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$. Стеж за такими спрощеннями, щоб не залишити зайвий радикал.
Типова помилка. Брати для $R$ формулу через $\sqrt{3}$ (як у трикутника) або плутати, що половина діагоналі — це $R$, а половина сторони — $r$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.