Вправа 6.40 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.40. Доведіть, що кожна діагональ правильного п'ятикутника паралельна одній із його сторін.
Дано
правильний п'ятикутник $ABCDE$
Довести
$AC \parallel ED$
Кут правильного п'ятикутника: $\angle B = \dfrac{180^{\circ}\cdot 3}{5} = 108^{\circ}$.
Трикутник $ABC$ рівнобедрений ($AB = BC$), тому $\angle BCA = \dfrac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$.
$\angle DCB = 108^{\circ}$ (кут п'ятикутника), тому $\angle ACD = \angle DCB - \angle BCA = 108^{\circ} - 36^{\circ} = 72^{\circ}$.
Розглянемо січну $CD$ для прямих $AC$ і $ED$.
$\angle CDE = 108^{\circ}$ (кут п'ятикутника).
$\angle ACD + \angle CDE = 72^{\circ} + 108^{\circ} = 180^{\circ}$.
Це сума внутрішніх односторонніх кутів, тому $AC \parallel ED$.
Кут правильного п'ятикутника
$\alpha = \dfrac{180^{\circ}(n-2)}{n} = \dfrac{180^{\circ}\cdot 3}{5} = 108^{\circ}$.
Ознака паралельності прямих
Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів при січній дорівнює $180^{\circ}$, то прямі паралельні.
Стратегія. Щоб довести паралельність $AC$ і $ED$, беремо січну $CD$ і показуємо, що сума односторонніх кутів $\angle ACD$ і $\angle CDE$ дорівнює $180^{\circ}$.
Звідки $\angle ACD = 72^{\circ}$. Діагональ $AC$ відтинає рівнобедрений трикутник $ABC$ з кутом при вершині $108^{\circ}$, тому кути при основі по $36^{\circ}$. Від повного кута п'ятикутника при вершині $C$ ($108^{\circ}$) віднімаємо $36^{\circ}$ і отримуємо $\angle ACD = 72^{\circ}$.
Чому це працює для всіх діагоналей. Через симетрію правильного п'ятикутника міркування дослівно повторюється для кожної діагоналі. Тому твердження справедливе для всіх п'яти діагоналей.
Типова помилка. Брати накрест лежачі кути замість односторонніх. Тут зручніше саме сума односторонніх $= 180^{\circ}$, бо обидва кути легко обчислити.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.