Вправа 6.39 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.39. Доведіть, що всі діагоналі правильного п'ятикутника рівні.
Дано
правильний п'ятикутник $ABCDE$
Довести
усі діагоналі рівні
Розглянемо дві діагоналі $AC$ і $BD$.
$AC$ — діагональ трикутника $ABC$, $BD$ — трикутника $BCD$.
У трикутниках $ABC$ і $BCD$:
$AB = BC$ (сторони правильного п'ятикутника);
$BC = CD$ (сторони правильного п'ятикутника);
$\angle ABC = \angle BCD$ (кути правильного п'ятикутника).
Отже, $\triangle ABC = \triangle BCD$ (за двома сторонами й кутом між ними).
З рівності трикутників: $AC = BD$.
Так само рівні будь-які дві сусідні діагоналі, тому всі п'ять діагоналей рівні: $AC = BD = CE = DA = EB$.
Перша ознака рівності трикутників
Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідним елементам іншого, то трикутники рівні (за двома сторонами й кутом між ними).
Властивості правильного многокутника
У правильному многокутнику всі сторони рівні й усі кути рівні.
Ідея доведення. Кожна діагональ — це сторона трикутника, утвореного двома сторонами п'ятикутника й самою діагоналлю. Якщо показати, що всі такі трикутники рівні, то й діагоналі (їхні відповідні сторони) рівні.
Чому трикутники рівні. У сусідніх трикутниках ($ABC$ і $BCD$) по дві сторони — це сторони п'ятикутника (всі рівні), а кут між ними — кут п'ятикутника (всі рівні, по $108^{\circ}$). Це перша ознака рівності трикутників.
«Ланцюжок» по всьому п'ятикутнику. Довівши $AC=BD$, тим самим міркуванням отримуємо $BD=CE$, $CE=DA$ і так далі. Усі п'ять діагоналей зв'язані рівностями в один ланцюг, отже рівні між собою.
Про запитання Дарини. У завданні згадано, чи існує опуклий многокутник, будь-які три вершини якого утворюють рівнобедрений трикутник. Правильний п'ятикутник — саме такий приклад: усі його сторони рівні, усі діагоналі рівні, тому з будь-яких трьох вершин виходить рівнобедрений (а часом і рівносторонній) трикутник. Тож Дарина має рацію.
Типова помилка. Намагатися рахувати довжину діагоналі через складні формули. Доведення рівності не потребує обчислень — достатньо ознаки рівності трикутників.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.