Вправа 6.48 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 6.48. Кути правильного трикутника зі стороною $24\text{ см}$ зрізали так, що отримали правильний шестикутник. Знайдіть роботу утвореного шестикутника.
Дано
$\triangle ABC$ — правильний
$P_{AB} = 24\text{ см}$ (сторона)
Утворено правильний 6-кутник
Знайти
$x$ (сторона 6-кутника)
1) Нехай $x$ — сторона утвореного правильного шестикутника.
2) Внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює $120^\circ$. Тоді суміжний з ним кут при вершині зрізаного кута становить $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
3) Кожен із трьох зрізаних кутових трикутників має кути $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$, тобто є правильним (рівностороннім) зі стороною $x$.
4) Кожна сторона початкового трикутника $ABC$ складається з трьох рівних відрізків довжиною $x$ (два відрізки від кутових трикутників та одна сторона шестикутника).
5) $3x = 24 \implies x = 24 : 3 = 8\text{ см}$.
Теоретична база
- Кути правильного многокутника: Внутрішній кут правильного $n$-кутника обчислюється за формулою $\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$. Для шестикутника ($n=6$): $\alpha = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$.
- Суміжні кути: Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$. Якщо кут шестикутника $120^\circ$, то суміжний кут у відсіченому трикутнику дорівнює $60^\circ$.
- Ознака правильного трикутника: Якщо в трикутнику два кути дорівнюють $60^\circ$, то і третій кут дорівнює $60^\circ$. Такий трикутник є рівностороннім.
У чому сіль задачі? Ця задача набагато простіша за попередню (з квадратом), бо тут немає коренів і тригонометрії. Головне — помітити симетрію. Оскільки кути великого трикутника становлять $60^\circ$, а кути зрізів утворюють суміжні $60^\circ$, маленькі кутові трикутники виявляються точними копіями правильного трикутника, просто зменшеними.
Це означає, що кожна сторона великого трикутника ділиться рівно на 3 однакові частини довжиною $x$. Знаючи загальну довжину ($24\text{ см}$), ми просто ділимо її на 3 і миттєво знаходимо сторону шестикутника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.