Вправа 6.49 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 6.49. Знайдіть діагоналі правильного восьмикутника, сторона якого дорівнює $a$.
Дано
$A_1A_2...A_8$ — правильний 8-кутник
Сторона дорівнює $a$
Знайти
Діагоналі: $d_1, d_2, d_3$
У правильному восьмикутнику є всього 3 види різних за довжиною діагоналей.
1) Знаходження малої діагоналі $d_1$ (наприклад, $A_1A_3$):
Внутрішній кут правильного 8-кутника дорівнює $\alpha = \frac{180^\circ \cdot (8 - 2)}{8} = 135^\circ$.
З $\triangle A_1A_2A_3$ ($A_1A_2 = A_2A_3 = a$, $\angle A_2 = 135^\circ$) за теоремою косинусів:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 135^\circ =$
$= 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(2 + \sqrt{2})$.
$d_1 = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
2) Знаходження середньої діагоналі $d_2$ (наприклад, $A_1A_4$):
Чотирикутник $A_1A_2A_3A_4$ — рівнобічна трапеція, де бічні сторони та менша основа дорівнюють $a$. Кути при основі $A_1A_4$ дорівнюють $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Опустивши висоти з вершин $A_2$ та $A_3$ на основу $A_1A_4$, отримаємо:
$d_2 = a + 2 \cdot a \cdot \cos 45^\circ =$
$= a + 2 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a + a\sqrt{2} = a(1 + \sqrt{2})$.
3) Знаходження великої діагоналі $d_3$ (наприклад, $A_1A_5$):
Діагональ $A_1A_5$ проходить через центр описаного кола і є його діаметром. Кут $\angle A_1A_4A_5 = 90^\circ$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр).
З прямокутного $\triangle A_1A_4A_5$ за теоремою Піфагора ($A_4A_5 = a$, $A_1A_4 = d_2$):
$d_3^2 = d_2^2 + a^2 = [a(1 + \sqrt{2})]^2 + a^2 =$
$= a^2(1 + 2\sqrt{2} + 2) + a^2 = a^2(4 + 2\sqrt{2})$.
$d_3 = a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.
Геометричні закономірності правильного 8-кутника
- Кут многокутника: Формула для кута правильного многокутника: $\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$. При $n=8$ отримуємо рівно $135^\circ$.
- Теорема косинусів: Використовується для знаходження третьої сторони трикутника за двома відомими сторонами та кутом між ними: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$. При цьому $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Вписаний кут на діаметр: Будь-який вписаний кут, який спирається на найбільшу діагональ (діаметр описаного кола) правильного многокутника, завжди дорівнює $90^\circ$.
Аналіз структури задачі: Головна фішка цієї задачі — класифікація відрізків. Оскільки у восьмикутника 8 вершин, з однієї точки можна провести 5 діагоналей. Через осьову симетрію вони групуються у три види: дві найкоротші ($d_1$), дві середні ($d_2$) та одна центральна найдовша ($d_3$).
Замість складних тригонометричних розрахунків через радіуси, для знаходження $d_3$ ми застосували красивий і швидкий перехід через прямокутний трикутник $\triangle A_1A_4A_5$. Це дозволило уникнути громіздких подвійних радикалів у проміжних обчисленнях.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.