Вправа 6.50 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

У правильному дванадцятикутнику з однієї вершини можна провести 5 різних за довжиною діагоналей.

1) Мала діагональ $d_1$ (через 1 вершину, $A_1A_3$):
Внутрішній кут: $\alpha = \frac{180^\circ \cdot (12 - 2)}{12} = 150^\circ$.
З $\triangle A_1A_2A_3$ за теоремою косинусів ($A_1A_2 = A_2A_3 = a$, $\angle A_2 = 150^\circ$):
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \cos 150^\circ = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = a^2(2 + \sqrt{3})$.
$d_1 = a\sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{a(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$.

Примітка: Оскільки центральний кут дуги $A_1A_3$ дорівнює $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$, то радіус описаного кола $R = d_1 = a\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Далі використовуємо $R$ для спрощення розрахунків.

2) Діагональ $d_2$ (через 2 вершини, $A_1A_4$):
Центральний кут для хорди $A_1A_4$ дорівнює $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.
З прямокутного $\triangle OA_1A_4$ за теоремою Піфагора:
$d_2 = R\sqrt{2} = a\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = a\sqrt{4+2\sqrt{3}} = a(\sqrt{3}+1)$.

3) Діагональ $d_3$ (через 3 вершини, $A_1A_5$):
Центральний кут для хорди $A_1A_5$ дорівнює $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
За теоремою косинусів з $\triangle OA_1A_5$ ($OA_1=OA_5=R$):
$d_3 = R\sqrt{3} = a\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6+3\sqrt{3}} = \frac{a(3\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}$.

4) Діагональ $d_4$ (через 4 вершини, $A_1A_6$):
Центральний кут для хорди $A_1A_6$ дорівнює $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
За теоремою косинусів з $\triangle OA_1A_6$:
$d_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos 150^\circ = R^2(2+\sqrt{3})$.
Оскільки $R^2 = a^2(2+\sqrt{3})$, то $d_4^2 = a^2(2+\sqrt{3})^2 \implies d_4 = a(2+\sqrt{3})$.

5) Найбільша діагональ $d_5$ (діаметр кола, $A_1A_7$):
$d_5 = 2R = 2 \cdot a\sqrt{2+\sqrt{3}} = a(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.