Вправа 6.7 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.7. На рисунку 6.14 зображено правильний восьмикутник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, точка $O$ — центр восьмикутника. Серед зображених на рисунку відрізків укажіть:
1) діагоналі восьмикутника;
2) радіуси описаного кола;
3) радіуси вписаного кола.
Які з кутів $A_1OA_8$, $A_1OC$, $A_2OA_4$, $A_1OA_2$ є центральними кутами восьмикутника?
Рисунок дивіться в підручнику (рис. 6.14).
1) Діагоналі восьмикутника
Діагональ з'єднує дві несусідні вершини. На рисунку це відрізки $A_1A_3$, $A_2A_4$, $A_8A_6$ та інші відрізки між несусідніми вершинами.
2) Радіуси описаного кола
Радіус описаного кола з'єднує центр $O$ із вершиною. На рисунку це $OA_1$, $OA_2$, $OA_3$, $OA_4$, $OA_6$, $OA_7$, $OA_8$.
3) Радіуси вписаного кола
Радіус вписаного кола (апофема) з'єднує центр $O$ із серединою сторони та перпендикулярний до неї. На рисунку це $OB$ і $OC$ (прямі кути позначено).
Центральні кути
Центральний кут восьмикутника дорівнює $\dfrac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ — це кут між радіусами до двох сусідніх вершин.
$\angle A_1OA_8$ — між радіусами до сусідніх вершин $A_1$ і $A_8$ — центральний.
$\angle A_1OA_2$ — між радіусами до сусідніх вершин $A_1$ і $A_2$ — центральний.
$\angle A_1OC$ — між радіусом $OA_1$ і апофемою $OC$ (не центральний). $\angle A_2OA_4$ — між вершинами через одну, дорівнює $90^{\circ}$ (не центральний).
Центр і радіуси правильного многокутника
Радіус описаного кола $R$ — відрізок від центра до вершини.
Радіус вписаного кола $r$ (апофема) — відрізок від центра до середини сторони, перпендикулярний до неї.
Центральний кут
$\alpha = \dfrac{360^{\circ}}{n}$.
Для восьмикутника $\alpha = 45^{\circ}$.
Як відрізнити радіуси. Дивимося, куди приходить відрізок із центра: у вершину $A_i$ — радіус описаного кола; у точку на стороні під прямим кутом — радіус вписаного (апофема). На рис. 6.14 апофеми $OB$ і $OC$ легко впізнати за позначеними прямими кутами зі сторонами.
Центральний кут — тільки до сусідніх вершин. Усі чотири кути в питанні мають вершину в центрі $O$, але центральним кутом многокутника вважається лише той, що спирається на одну сторону, тобто між радіусами до сусідніх вершин. Таких тут два: $\angle A_1OA_8$ і $\angle A_1OA_2$.
Чому решта не підходять. $\angle A_2OA_4$ спирається на дві сторони (вершини через одну) — це $2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}$. $\angle A_1OC$ — між радіусом і апофемою, дорівнює половині центрального ($22{,}5^{\circ}$).
Типова помилка. Вважати, що раз $A_8$ «остання», то вона не сусідня з $A_1$. Насправді в замкненому многокутнику $A_8$ і $A_1$ — сусіди, тому $\angle A_1OA_8$ теж центральний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.