Вправа 6.6 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.6. На рисунку 6.13 зображено правильний шестикутник $ABCDEF$, точка $O$ — центр шестикутника. Серед зображених на рисунку відрізків укажіть:
1) діагоналі шестикутника;
2) радіуси описаного кола;
3) радіус вписаного кола.
Який із кутів $CAD$, $DOE$, $FOM$, $DOF$ є центральним кутом шестикутника?
Рисунок дивіться в підручнику (рис. 6.13).
1) Діагоналі шестикутника
Діагональ з'єднує дві несусідні вершини. На рисунку це відрізки $AC$ і $AD$.
2) Радіуси описаного кола
Радіус описаного кола з'єднує центр $O$ із вершиною. На рисунку це $OA$, $OC$, $OD$, $OE$.
3) Радіус вписаного кола
Радіус вписаного кола (апофема) з'єднує центр $O$ із серединою сторони. На рисунку це $OM$ ($M$ — середина сторони $FE$).
Центральний кут
Центральний кут — це кут між двома радіусами описаного кола, проведеними до сусідніх вершин; він дорівнює $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$.
$\angle DOE$ утворений радіусами $OD$ і $OE$ до сусідніх вершин $D$ і $E$ — це центральний кут.
$\angle CAD$ — при вершині $A$ (не при центрі); $\angle FOM$ — між радіусом і апофемою ($30^{\circ}$); $\angle DOF$ — між радіусами до вершин через одну ($120^{\circ}$). Жоден із них не є центральним кутом.
Центр і радіуси правильного многокутника
Радіус описаного кола $R$ — відрізок від центра до вершини.
Радіус вписаного кола $r$ (апофема) — відрізок від центра до середини сторони, перпендикулярний до неї.
Центральний кут
Кут між радіусами описаного кола до двох сусідніх вершин:
$\alpha = \dfrac{360^{\circ}}{n}$.
Для шестикутника $\alpha = 60^{\circ}$.
Діагональ многокутника
Відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини.
Як не плутати радіуси. Обидва радіуси виходять із центра $O$. Різниця — у тому, куди вони приходять: до вершини — це радіус описаного кола ($R$); до середини сторони — радіус вписаного кола ($r$, апофема). Апофема завжди коротша й перпендикулярна до сторони.
Ключ до центрального кута. Слово «центральний» означає, що вершина кута — в центрі $O$. Тож одразу відкидаємо кути, у яких вершина не $O$ (наприклад, $\angle CAD$ — вершина $A$). Серед «центрових» залишаємо лише той, де обидва промені — радіуси до сусідніх вершин: це $\angle DOE = 60^{\circ}$.
Чому $DOF$ і $FOM$ не підходять. $\angle DOF$ — теж із вершиною в $O$, але між вершинами через одну, тому це $120^{\circ}$, тобто два центральні кути. $\angle FOM$ — між радіусом $OF$ і апофемою $OM$, він дорівнює половині центрального ($30^{\circ}$).
Типова помилка. Називати центральним будь-який кут із вершиною в центрі. Центральний кут многокутника — це конкретно $\dfrac{360^{\circ}}{n}$, між радіусами до сусідніх вершин.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.