Вправа 7.15 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
7.15. Знайдіть площу круга, описаного навколо квадрата зі стороною $a$.
Дано
Квадрат $ABCD$, сторона $a$;
коло, описане навколо нього, з центром $O$.
Знайти
$S$ — площу круга.
Радіус описаного кола
Діаметр описаного кола дорівнює діагоналі квадрата $d = a\sqrt{2}$, тому:
$R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Площа круга
$S = \pi R^2 = \pi \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \dfrac{2a^2}{4} =$
$= \dfrac{\pi a^2}{2}$.
Коло, описане навколо квадрата
Діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a\sqrt{2}$ і є діаметром описаного кола, тому:
$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Площа круга
$S = \pi R^2.$
Ключ — діагональ. Описане коло проходить через усі чотири вершини квадрата. Найбільша відстань між вершинами — це діагональ, і вона ж є діаметром кола. Діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a\sqrt{2}$ (теорема Піфагора), тому радіус — її половина.
Акуратно з квадратом. При піднесенні $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ до квадрата окремо підносимо чисельник і знаменник: $(a\sqrt{2})^2 = 2a^2$, $2^2 = 4$. Виходить $\dfrac{2a^2}{4} = \dfrac{a^2}{2}$.
Типова помилка. Плутають описане коло з вписаним. У вписаного радіус $\dfrac{a}{2}$ (як у вправі 7.14), у описаного — $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, він більший, бо коло має «дотягнутися» до вершин, а не до сторін.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.