Вправа 7.16 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
7.16. Знайдіть площу круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною $a$.
Дано
Правильний шестикутник $ABCDEF$, сторона $a$;
коло, вписане в нього, з центром $O$.
Знайти
$S$ — площу круга.
Радіус вписаного кола (апофема)
Для правильного шестикутника зі стороною $a$:
$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Площа круга
$S = \pi r^2 = \pi \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \dfrac{3a^2}{4} =$
$= \dfrac{3\pi a^2}{4}$.
Радіус вписаного кола правильного шестикутника
Радіус вписаного кола (апофема) дорівнює висоті рівностороннього трикутника зі стороною $a$:
$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Площа круга
$S = \pi r^2.$
Чим відрізняється вписане коло. Воно торкається сторін шестикутника, тому його радіус — це апофема (відстань від центра до середини сторони), а не радіус описаного кола (відстань до вершини).
Звідки $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Правильний шестикутник складається з шести рівносторонніх трикутників зі стороною $a$. Апофема — це висота такого трикутника, а висота рівностороннього трикутника дорівнює $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Акуратно з квадратом. $\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{(\sqrt{3})^2 a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}$. Корінь зникає, бо $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Типова помилка. Беруть за радіус вписаного кола сторону $a$ або радіус описаного кола ($R = a$). Для шестикутника вписаний радіус $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ менший за описаний $R = a$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.