Вправа 7.18 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Умова

7.18. Радіус кола дорівнює $8$ см. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює:

$4^{\circ}$;
$320^{\circ}$.

Розв'язання

$R = 8$ см, $l = \dfrac{\pi R n}{180}$.

1) $n = 4^{\circ}$

$l = \dfrac{\pi \cdot 8 \cdot 4}{180} = \dfrac{32\pi}{180} = \dfrac{8\pi}{45}$ (см).

2) $n = 320^{\circ}$

$l = \dfrac{\pi \cdot 8 \cdot 320}{180} = \dfrac{2560\pi}{180} = \dfrac{128\pi}{9}$ (см).

Відповідь

1) $\dfrac{8\pi}{45}$ см; 2) $\dfrac{128\pi}{9}$ см.

Довжина дуги кола

Дуга в $n^{\circ}$ — це $\dfrac{n}{360}$ частина всього кола, тому:

$l = \dfrac{2\pi R}{360}\cdot n = \dfrac{\pi R n}{180}.$

Звідки формула. Повне коло — $360^{\circ}$ і має довжину $2\pi R$. Дуга в $n$ градусів — це відповідна частка кола, тому довжину всього кола множимо на $\dfrac{n}{360}$. Після скорочення $\dfrac{2}{360} = \dfrac{1}{180}$ і виходить $\dfrac{\pi R n}{180}$.

Скорочення дробу. Відповідь зручно подати нескоротним дробом: $\dfrac{32}{180} = \dfrac{8}{45}$, $\dfrac{2560}{180} = \dfrac{128}{9}$. $\pi$ зберігаємо для точності.

Типова помилка. Ділять на $360$ замість $180$, забуваючи, що $2\pi R$ вже містить двійку, яка скорочується з $360$.