Вправа 7.50 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 7.50. Два квадрати зі сторонами 1 см мають спільний центр (рис. 7.18). Доведіть, що площа їхньої спільної частини більша за $\frac{3}{4}$.
Дано
Два квадрати зі спільним центром $O$;
Сторона кожного квадрата дорівнює $1\text{ см}$.
Довести
Площа їхньої спільної частини $S > \frac{3}{4}\text{ см}^2$.
1. Розглянемо коло з центром у спільній точці $O$ квадратів і радіусом $r = \frac{1}{2}\text{ см}$.
2. Оскільки відстань від центру кожного з цих квадратів до його сторін дорівнює половині сторони (тобто $\frac{1}{2}\text{ см}$), це коло є вписаним у кожен із двох квадратів.
3. Оскільки круг обмежений цим колом повністю лежить усередині як першого, так і другого квадрата, він гарантовано міститься всередині їхньої спільної частини при будь-якому куті повороту фігур.
4. Обчислимо площу цього вписаного круга:
$$S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}\text{ см}^2$$
5. Спільна частина квадратів є многокутником (восьмикутником), який повністю покриває цей круг і має додаткові ділянки у кутах, тому її площа $S$ строго більша за площу круга:
$$S > S_{\text{круга}} = \frac{\pi}{4}$$
6. Враховуючи, що число $\pi > 3$ (нагадаємо, що $\pi \approx 3{,}14$), маємо очевидну строгу нерівність:
$$S > \frac{\pi}{4} > \frac{3}{4}$$
Нерівність повністю доведено.
Площа круга
Площа круга обчислюється за фундаментальною геометричною формулою:
$$S = \pi r^2$$
де $r$ — радіус круга, а $\pi \approx 3{,}14$ — математична константа. Оскільки значення $\pi$ строго більше за $3$, будь-яка оцінка через цей дріб є математично правильною.
Геніальне та просте рішення. Замість того, щоб намагатися виразити площу заштрихованого восьмикутника через складні тригонометричні залежності або шукати координати точок для кожного окремого кута нахилу, у цій задачі найкраще застосувати метод оцінки площ (метод допоміжних фігур).
Чому саме коло? Коло — це унікальна фігура, яка є абсолютно інваріантною відносно будь-якого повороту навколо свого центру. Коло радіуса $\frac{1}{2}\text{ см}$ ідеально вписується у квадрат зі стороною $1\text{ см}$. Як би ми не крутили другий точно такий самий квадрат навколо їхнього спільного центру $O$, він завжди буде дотикатися до цього ж самого кола. Отже, перетин (спільна частина) двох квадратів за будь-яких умов повністю містить у собі цей круг.
Краса числової оцінки: Площа круга дорівнює $\frac{\pi}{4}$. Оскільки $\pi$ трохи більше за три, ми миттєво отримуємо бездоганне олімпіадне доведення: площа спільної фігури завжди строго більша за площу круга, тобто $S > \frac{\pi}{4} > \frac{3}{4}$. Це витончений та короткий підхід, який ідеально пасує до програми 9 класу!
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.