Вправа 7.60 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 7.60. Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ ділить його сторону $BC$ на відрізки $BM$ і $MC$ завдовжки $10\text{ см}$ і $14\text{ см}$ відповідно. На відрізки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника?
Дано
$ABCD$ — прямокутник
$AM$ — бісектриса $\angle A$
$M \in BC$
$BM = 10\text{ см}$
$MC = 14\text{ см}$
$AM \cap BD = K$
Знайти
$BK$, $KD$
$BC = BM + MC = 10 + 14 = 24\text{ см}$
$AD = BC = 24\text{ см}$ (вл-сть прямокутника)
$\angle BMA = \angle MAD$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ та січній $AM$)
$\angle BAM = \angle MAD$ ($AM$ — бісектриса $\angle A$)
$\angle BAM = \angle BMA \implies AB = BM = 10\text{ см}$
$\triangle ABD$ ($\angle A = 90^\circ$):
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} =$
$= \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\text{ см}$ (за т. Піфагора)
$\triangle BKM \sim \triangle DKA$ (за двома кутами)
$\dfrac{BK}{KD} = \dfrac{BM}{AD} = \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$
$BK = 5x$, $KD = 12x$
$5x + 12x = 26$
$17x = 26 \implies x = \dfrac{26}{17}$
$BK = 5 \cdot \dfrac{26}{17} = \dfrac{130}{17} = 7\dfrac{11}{17}\text{ см}$
$KD = 12 \cdot \dfrac{26}{17} = \dfrac{312}{17} = 18\dfrac{6}{17}\text{ см}$
Властивість бісектриси прямокутника
Бісектриса кута прямокутника відтинає від нього рівнобедрений трикутник. У даному випадку $\triangle ABM$ є рівнобедреним з основою $AM$, тому $AB = BM$.
Подібність трикутників за двома кутами
Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні.
Спочатку знайдемо лінійні розміри прямокутника. Сторона $BC$ складається з двох відомих відрізків: $10\text{ см} + 14\text{ см} = 24\text{ см}$. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то $AD = 24\text{ см}$.
Важливий крок — використання властивості бісектриси паралелограма (і прямокутника зокрема). Вона завжди утворює рівнобедрений трикутник через рівність внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих. Звідси отримуємо, що суміжна сторона $AB$ дорівнює відрізку $BM$, тобто $AB = 10\text{ см}$.
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $ABD$ знаходимо повну довжину діагоналі $BD = \sqrt{10^2 + 24^2} = 26\text{ см}$.
Бісектриса $AM$ перетинає діагональ $BD$ у точці $K$. При цьому утворюються два подібні трикутники: $\triangle BKM$ та $\triangle DKA$ (кути при вершині $K$ вертикальні, а кути $\angle MBK$ та $\angle ADK$ — внутрішні різносторонні). Коефіцієнт подібності визначається як відношення відомих паралельних сторін: $\dfrac{BM}{AD} = \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$.
Поділивши всю діагональ ($26\text{ см}$) у відношенні $5 : 12$, отримуємо шукані довжини відрізків.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.