Вправа 7.61 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 7.61. Сума кутів при більшій основі трапеції дорівнює 90°. Доведіть, що відстань між серединами основ трапеції дорівнює піврізниці основ.
Дано
$ABCD$ — трапеція
$BC \parallel AD$, $AD > BC
$\angle A + \angle D = 90^\circ$
$M$ — середина $BC$
$N$ — середина $AD$
Довести
$MN = \dfrac{AD - BC}{2}$
$AB \cap CD = E$
$\angle AED = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
$\triangle EBC$ ($\angle E = 90^\circ$):
$EM = \dfrac{1}{2}BC$ (медіана до гіпотенузи)
$\triangle AED$ ($\angle E = 90^\circ$):
$EN = \dfrac{1}{2}AD$ (медіана до гіпотенузи)
$MN = EN - EM = \dfrac{1}{2}AD - \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{AD - BC}{2}$
Властивість медіани прямокутного трикутника
Медіана прямокутного трикутника, проведена до його гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи.
Сума кутів трикутника
Сума всіх внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює $180^\circ$.
Для доведення виконаємо додаткову побудову: продовжимо бічні сторони трапеції $AB$ і $CD$ до їхнього перетину в точці $E$. Це стандартний і дуже ефективний прийом для задач, де сума кутів при одній з основ дорівнює $90^\circ$.
Розглянемо утворений великий трикутник $AED$. Сума кутів $A$ і $D$ за умовою дорівнює $90^\circ$, отже, кут при вершині $E$ дорівнює $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Це означає, що трикутник $AED$ є прямокутним. Оскільки основи трапеції паралельні ($BC \parallel AD$), малий трикутник $EBC$ також буде прямокутним.
Тепер проведемо відрізок, що з'єднує точку $E$ із серединами основ $M$ і $N$. Оскільки точки $M$ і $N$ ділять паралельні основи навпіл, пряма $EN$ проходить через точку $M$ (властивість чудових точок трапеції). Таким чином, $EM$ є медіаною малого прямокутного трикутника, а $EN$ — медіаною великого прямокутного трикутника.
За властивістю прямокутного трикутника, медіана до гіпотенузи дорівнює її половині. Отримуємо: $EM = \dfrac{1}{2}BC$ та $EN = \dfrac{1}{2}AD$.
Шукана відстань між серединами основ $MN$ є різницею цих двох медіан: $MN = EN - EM = \dfrac{1}{2}AD - \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{AD - BC}{2}$, що й треба було довести.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.