Вправа 8.16 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Доведіть, що точки $M(-4;5)$, $N(-10;7)$ і $K(8;1)$ лежать на одній прямій, та вкажіть, яка з них лежить між двома іншими.
Дано
$M(-4;5)$, $N(-10;7)$, $K(8;1)$
Довести
$M$, $N$, $K$ — на одній прямій
Точки $N$, $M$, $K$ на одній прямій; $M$ — між $N$ і $K$.
$MN = \sqrt{(-10+4)^2 + (7-5)^2} =$
$= \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$MK = \sqrt{(8+4)^2 + (1-5)^2} =$
$= \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.
$NK = \sqrt{(8+10)^2 + (1-7)^2} =$
$= \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$.
$MN + MK = 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 6\sqrt{10} = NK$.
Висновок: $MN + MK = NK$, тому точки лежать на одній прямій, а точка $M$ лежить між $N$ і $K$, що й треба було довести.
Відстань між точками $A(x_1;y_1)$ і $B(x_2;y_2)$:
$$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Якщо для трьох точок одна з відстаней дорівнює сумі двох інших, то точки лежать на одній прямій, причому посередині — та точка, що входить в обидва доданки.
Рахуємо всі три попарні відстані й дивимося, чи найбільша з них дорівнює сумі двох менших. Найбільша вийшла $NK = 6\sqrt{10}$, і справді $2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.
Оскільки доданками суми були $MN$ і $MK$ — обидві містять точку $M$, — то саме $M$ і лежить між двома іншими. Логіка така: щоб дійти від $N$ до $K$, ми проходимо через $M$, тому шлях $N \to M \to K$ дорівнює прямому відрізку $NK$.
Зручно, що всі відстані вийшли кратними $\sqrt{10}$ — тоді рівність перевіряється усно, без наближень.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.