Вправа 8.15 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Чи лежать на одній прямій точки:
1) $A(-2;-7)$, $B(-1;-4)$ і $C(5;14)$;
2) $D(-1;3)$, $E(2;13)$ і $F(5;21)$?
У разі ствердної відповіді вкажіть, яка з точок лежить між двома іншими.
Три точки лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли більша з відстаней між ними дорівнює сумі двох інших.
1) $A(-2;-7)$, $B(-1;-4)$, $C(5;14)$.
Точки $A$, $B$, $C$ на одній прямій; $B$ — між $A$ і $C$.
$AB = \sqrt{(-1+2)^2 + (-4+7)^2} =$
$= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$BC = \sqrt{(5+1)^2 + (14+4)^2} =$
$= \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$.
$AC = \sqrt{(5+2)^2 + (14+7)^2} =$
$= \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}$.
$AB + BC = \sqrt{10} + 6\sqrt{10} = 7\sqrt{10} = AC$.
Точки лежать на одній прямій; $B$ — між $A$ і $C$.
2) $D(-1;3)$, $E(2;13)$, $F(5;21)$.
$DE = \sqrt{(2+1)^2 + (13-3)^2} =$
$= \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109}$.
$EF = \sqrt{(5-2)^2 + (21-13)^2} =$
$= \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$.
$DF = \sqrt{(5+1)^2 + (21-3)^2} =$
$= \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$.
$DE + EF = \sqrt{109} + \sqrt{73} \approx 10{,}44 + 8{,}54 = 18{,}98$,
$DF = 6\sqrt{10} \approx 18{,}97$.
$DE + EF \ne DF$ — точки не лежать на одній прямій.
Відповідь: 1) лежать на одній прямій, точка $B$ — між $A$ і $C$; 2) не лежать на одній прямій.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Три точки лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли найбільша з трьох відстаней дорівнює сумі двох інших. Точка, відстані до якої від двох інших у сумі дають найбільшу відстань, лежить між ними.
Ідея проста: якщо точки на одній прямій, то найдальші дві задають загальну довжину, а третя ділить її на два шматки. Тобто сума двох коротших відстаней має дорівнювати найдовшій. Якщо рівність не виконується — точки утворюють трикутник, тобто не лежать на прямій (це нерівність трикутника: сума двох сторін завжди більша за третю).
У пункті 1) усі відстані виявилися кратними $\sqrt{10}$, і $\sqrt{10} + 6\sqrt{10} = 7\sqrt{10}$ точно — точки на прямій, а між двома крайніми лежить $B$ (бо саме $AC$ найбільша).
У пункті 2) $\sqrt{109}$ і $\sqrt{73}$ не дають у сумі рівно $6\sqrt{10}$ — наближено $18{,}98 \ne 18{,}97$. Різниця крихітна, тому на око по рисунку це не визначиш — потрібен саме розрахунок. Через цю «майже-прямизну» рисунок до пункту 2) лише заплутав би.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.