Вправа 8.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(-3;-2)$, $B(-1;2)$, $C(1;-2)$ і $D(-1;-6)$ є ромбом.
Подумайте, чи можна під час розв'язання цієї задачі не знаходити довжини всіх сторін чотирикутника. Обговоріть це питання з однокласниками й однокласницями.
Дано
$A(-3;-2)$, $B(-1;2)$,
$C(1;-2)$, $D(-1;-6)$
Довести
$ABCD$ — ромб
Чотирикутник $ABCD$; усі сторони дорівнюють $2\sqrt{5}$.
$AB = \sqrt{(-1+3)^2 + (2+2)^2} =$
$= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(1+1)^2 + (-2-2)^2} =$
$= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$CD = \sqrt{(-1-1)^2 + (-6+2)^2} =$
$= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(-3+1)^2 + (-2+6)^2} =$
$= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Висновок: $AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{5}$ — усі сторони чотирикутника рівні, тому $ABCD$ — ромб, що й треба було довести.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Ромб — це чотирикутник, у якого всі сторони рівні. Інша ознака: паралелограм, у якого дві сусідні сторони рівні, є ромбом.
Найпрямолінійніший спосіб — порахувати всі чотири сторони й побачити, що вони рівні. Усі вийшли по $2\sqrt{5}$, тому фігура — ромб.
Тепер про питання з умови — чи можна не рахувати всі сторони? Так, можна, і це коротший шлях. Спочатку доводимо, що $ABCD$ — паралелограм (наприклад, через рівність векторів $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ або через те, що середини діагоналей збігаються). А далі досить показати, що дві сусідні сторони рівні, наприклад $AB = BC$. За ознакою «паралелограм із двома рівними сусідніми сторонами — ромб» цього вистачає. Тобто замість чотирьох обчислень — два плюс перевірка паралелограма.
Обидва способи правильні; перший простіший для запису, другий — економніший і показує глибше розуміння ознак.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.