Вправа 8.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Про точки $A$, $B$ і $C$ відомо, що $AB = BC$, $A(5;9)$, $C(1;-3)$, модулі координат точки $B$ рівні. Знайдіть координати точки $B$.
Дано
$A(5;9)$, $C(1;-3)$
$AB = BC$, $\ |x_B| = |y_B|$
Знайти
координати $B$
Дві точки: $B_1(3;3)$ ($y=x$) і $B_2(-6;6)$ ($y=-x$).
$B(x;y)$. Умова $AB = BC$ дає $AB^2 = BC^2$:
$(x-5)^2 + (y-9)^2 = (x-1)^2 + (y+3)^2$;
$-10x + 25 - 18y + 81 = -2x + 1 + 6y + 9$;
$-8x - 24y + 96 = 0$;
$x + 3y = 12$.
Умова $|x| = |y|$ дає два випадки: $y = x$ або $y = -x$.
1) $y = x$: $x + 3x = 12$, $x = 3$, $y = 3$.
$B_1(3;3)$.
2) $y = -x$: $x - 3x = 12$, $x = -6$, $y = 6$.
$B_2(-6;6)$.
Відповідь: $B_1(3;3)$ або $B_2(-6;6)$.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Рівність модулів $|x| = |y|$ означає, що $y = x$ або $y = -x$.
У задачі дві умови, тому й рівнянь два. Перша — $AB = BC$ — каже, що $B$ рівновіддалена від $A$ і $C$, тобто лежить на серединному перпендикулярі до $AC$. Прирівнявши квадрати, отримуємо пряму $x + 3y = 12$.
Друга умова — рівність модулів координат. Це важливий момент: $|x| = |y|$ розпадається на два випадки, $y = x$ і $y = -x$ (бо рівні за модулем числа можуть мати однакові або протилежні знаки). Кожен випадок підставляємо в пряму окремо — звідси й дві відповіді.
Найчастіша помилка тут — урахувати лише $y = x$ і втратити друге розв'язання. Модуль завжди дає розгалуження на два знаки.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.