Вправа 9.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 9.27. Доведіть, що трикутник із вершинами в точках $A(-1;\,-2)$, $B(-1;\,2)$, $C(5;\,2)$ є прямокутним, і складіть рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.
Сторони трикутника
$AB^2=(-1+1)^2+(2+2)^2=0+16=16$;
$BC^2=(5+1)^2+(2-2)^2=36+0=36$;
$AC^2=(5+1)^2+(2+2)^2=36+16=52$.
Прямий кут
$AB^2+BC^2=16+36=52=AC^2$.
За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, $\angle B=90^{\circ}$ — трикутник прямокутний.
Описане коло
Центр описаного кола прямокутного трикутника — середина гіпотенузи $AC$:
$O\left(\dfrac{-1+5}{2};\,\dfrac{-2+2}{2}\right)=O(2;\,0)$.
$R^2=OA^2=(-1-2)^2+(-2-0)^2=9+4=13$.
$(x-2)^2+y^2=13$.
Відстань між точками
$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$.
Обернена теорема Піфагора
Якщо $AB^2+BC^2=AC^2$, то кут навпроти сторони $AC$ прямий.
Описане коло прямокутного трикутника
Центр — середина гіпотенузи, радіус — половина гіпотенузи.
Як побачити прямий кут наперед. У точок $A$ і $B$ однакова абсциса ($-1$) — отже $AB$ вертикальна. У точок $B$ і $C$ однакова ордината ($2$) — отже $BC$ горизонтальна. Вертикаль і горизонталь перпендикулярні, тому кут $B$ прямий. Але в доведенні надійніше показати це через теорему Піфагора (порахувати квадрати сторін).
Чому центр — середина гіпотенузи. У прямокутному трикутнику гіпотенуза є діаметром описаного кола (вписаний прямий кут спирається на діаметр). Тому центр кола — середина гіпотенузи $AC$, а радіус — її половина. Не треба розв'язувати систему, як для довільного трикутника — досить знайти середину $AC$.
Не переплутай гіпотенузу. Найбільша сторона — навпроти прямого кута. Тут прямий кут при $B$, тому гіпотенуза — $AC$ (вона ж найдовша: $AC^2=52$). Саме $AC$ — діаметр, а не $AB$ чи $BC$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.