Математика 5 клас: Теоретичний довідник

Числовий вираз — це запис, який складається із чисел, знаків арифметичних дій та дужок. Результат виконання дій називається значенням виразу.

Буквений вираз — це вираз, який, крім чисел і знаків дій, містить букви.

Формула — це рівність, яка показує взаємозв’язок між величинами. Наприклад, формула відстані: $S = v \cdot t$.

Рівняння — це рівність, що містить невідоме число, позначене буквою. Значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну рівність, називається коренем (або розв'язком) рівняння.

Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.

• Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.
• Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник.
• Щоб знайти невідомий від'ємник, треба від зменшуваного відняти різницю.
• Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник.
• Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на дільник.
• Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.

Властивості додавання:

• Переставна: від перестановки доданків сума не змінюється. $a + b = b + a$.
• Сполучна: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
• Властивість нуля: якщо до числа додати нуль, воно не зміниться. $a + 0 = a$.

Властивості множення:

• Переставна: від перестановки множників добуток не змінюється. $a \cdot b = b \cdot a$.
• Сполучна: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
• Розподільна: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (відносно додавання) та $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ (відносно віднімання).

Ділення:

• Ділити на нуль не можна.
• Частка показує, скільки разів дільник міститься в діленому.

Степінь числа — це добуток однакових множників. Дія знаходження степеня називається піднесенням до степеня.

• Квадрат числа — це степінь з показником 2. Наприклад, $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
• Куб числа — це степінь з показником 3. Наприклад, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Будь-яке число в першому степені дорівнює самому числу: $a^1 = a$.

Порядок дій: у виразах спочатку виконується піднесення до степеня, а потім інші дії.

Ділення з остачею: якщо число $a$ не ділиться націло на число $b$, то виконується ділення з остачею. Остача завжди менша за дільник.

Дільник числа $a$ — це натуральне число, на яке $a$ ділиться без остачі. Кратне числу $a$ — це натуральне число, яке ділиться на $a$ без остачі.

Ознаки подільності:

• На 10: якщо запис числа закінчується цифрою 0.
• На 5: якщо запис числа закінчується цифрою 0 або 5.
• На 2: якщо запис числа закінчується парною цифрою (0, 2, 4, 6, 8). Такі числа називають парними.
• На 9: якщо сума цифр числа ділиться на 9.
• На 3: якщо сума цифр числа ділиться на 3.

Просте число має тільки два дільники: 1 і саме себе (наприклад, 2, 3, 5, 7, 11). Складене число має більше двох дільників (наприклад, 4, 6, 9, 10). Число 1 не є ні простим, ні складеним.

Розкласти число на прості множники — означає подати його у вигляді добутку простих чисел.

Найбільший спільний дільник (НСД) — це найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел. Щоб знайти НСД, треба розкласти числа на прості множники і знайти добуток їхніх спільних множників.

Найменше спільне кратне (НСК) — це найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел. Щоб знайти НСК, треба розклад одного числа доповнити тими множниками з розкладів інших чисел, яких у ньому немає, і знайти добуток.

Взаємно прості числа — це числа, НСД яких дорівнює 1. НСК взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку.

Пряма не має ні початку, ні кінця. Через будь-які дві точки можна провести тільки одну пряму.

Відрізок — це частина прямої, обмежена двома точками (кінцями відрізка). Відрізки, що мають однакову довжину, називаються рівними.

Промінь — це частина прямої, що має початок, але не має кінця. Доповняльні промені — два промені, що виходять з однієї точки і лежать на одній прямій у протилежних напрямках.

Координатний промінь — це промінь, на якому позначено початок відліку (точка О, що відповідає числу 0) та одиничний відрізок. Число, що відповідає точці, називається її координатою.

Шкала — це система поділок на вимірювальному приладі. Відстань між сусідніми поділками називається ціною поділки.

Кут — це геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами), що виходять з однієї точки (вершини).

Види кутів за градусною мірою:

• Гострий кут: менший за $90^\circ$.
• Прямий кут: дорівнює $90^\circ$.
• Тупий кут: більший за $90^\circ$, але менший за $180^\circ$.
• Розгорнутий кут: дорівнює $180^\circ$ (його сторони утворюють пряму).

Кути вимірюють за допомогою транспортира.

Трикутник — це фігура, що складається з трьох точок (вершин) і трьох відрізків (сторін), що їх сполучають. Периметр трикутника — це сума довжин усіх його сторін.

Види трикутників за сторонами:

• Різносторонній — усі сторони різної довжини.
• Рівнобедрений — дві сторони рівні.
• Рівносторонній — усі три сторони рівні.

Види трикутників за кутами:

• Гострокутний — усі кути гострі.
• Прямокутний — один кут прямий.
• Тупокутний — один кут тупий.

Сума кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює $180^\circ$.

Прямокутник — це чотирикутник, у якого всі кути прямі ($90^\circ$). Протилежні сторони прямокутника рівні.

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Площа — це величина, що показує, скільки одиничних квадратів вміщується у фігурі.

Одиниці вимірювання площі:

• 1 ар (сотка) = $100 \text{ м}^2$.
• 1 гектар (га) = $100$ ар = $10 000 \text{ м}^2$.

Діаграми використовують для наочного зображення та порівняння даних. Найпоширеніші види — лінійні та стовпчасті.

Задачі на рух:

• Швидкість зближення (рух назустріч): $v = v_1 + v_2$.
• Швидкість віддалення (рух у протилежних напрямках): $v = v_1 + v_2$.
• Швидкість зближення/віддалення (рух в одному напрямку): $v = v_1 - v_2$ (де $v_1 > v_2$).

Задачі економічного змісту:

• Вартість = Ціна $\cdot$ Кількість.
• Обсяг роботи = Продуктивність праці $\cdot$ Час.

Звичайний дріб має вигляд $\frac{a}{b}$.

• Знаменник $b$ показує, на скільки рівних частин поділено ціле.
• Чисельник $a$ показує, скільки таких частин взято.

Риска дробу означає дію ділення: $\frac{a}{b} = a : b$.

Знаходження дробу від числа: щоб знайти $\frac{a}{b}$ від числа $c$, треба $c$ поділити на $b$ і помножити на $a$.

Знаходження числа за його дробом: щоб знайти число, якщо $\frac{a}{b}$ його дорівнює $d$, треба $d$ поділити на $a$ і помножити на $b$.

Правильний дріб — це дріб, у якого чисельник менший за знаменник ($a < b$). Правильний дріб завжди менший за 1.

Неправильний дріб — це дріб, у якого чисельник більший за знаменник або дорівнює йому ($a \ge b$). Неправильний дріб більший або дорівнює 1.

Порівняння дробів з однаковими знаменниками: з двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більший.

Мішане число складається з цілої та дробової частини.

Щоб перетворити неправильний дріб у мішане число, треба чисельник поділити на знаменник. Неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником дробової частини, а знаменник залишиться той самий.

Щоб перетворити мішане число у неправильний дріб, треба цілу частину помножити на знаменник і додати чисельник. Результат буде новим чисельником.

Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їхні чисельники, а знаменник залишити без змін.

Щоб додати (відняти) мішані числа, треба окремо виконати дії з цілими та дробовими частинами.

Десятковий дріб — це інша форма запису дробу, знаменник якого є степенем числа 10 (10, 100, 1000...). Ціла частина відокремлюється від дробової комою.

Властивість десяткового дробу: якщо в кінці десяткового дробу дописати або відкинути нулі, його значення не зміниться. $0,7 = 0,70 = 0,700$.

Порівняння десяткових дробів: спочатку порівнюють цілі частини. Якщо вони рівні, порівнюють дробові частини порозрядно (десяті, соті і т.д.).

Щоб округлити дріб, треба підкреслити цифру розряду, до якого округлюємо. Потім подивитися на наступну за нею цифру:

• Якщо наступна цифра 0, 1, 2, 3 або 4, то підкреслену цифру не змінюємо, а всі наступні відкидаємо.
• Якщо наступна цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то підкреслену цифру збільшуємо на 1, а всі наступні відкидаємо.

Додавання і віднімання: записати дроби "кома під комою" і виконати дію як з натуральними числами, зносячи кому в результат.

Множення: виконати множення, не звертаючи уваги на коми. У добутку відокремити комою справа стільки цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом.

Ділення на натуральне число: ділити як натуральні числа, поставивши кому в частці, коли закінчиться ділення цілої частини.

Ділення на десятковий дріб: перенести кому в діленому і дільнику вправо на стільки знаків, скільки їх у дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число.

Середнє арифметичне кількох чисел — це частка від ділення суми цих чисел на їх кількість.

Середня швидкість руху — це вся пройдена відстань, поділена на весь витрачений час.