Правила, означення, теорія з математики у 5 класі.

Натуральні числа

Числа, які використовують для лічби предметів, називають натуральними числами.

Якщо всі натуральні числа записати в порядку зростання, то одержимо ряд натуральних чисел, або натуральний ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... .

Ряд натуральних чисел

Натуральний ряд має такі властивості:

• перше число ряду (число 1) є найменшим натуральним числом;
• кожне наступне число ряду на 1 більше за попереднє.

Найбільшого натурального числа не існує. Записати всі числа натурального ряду неможливо.

Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Порівняння натуральних чисел

Із двох натуральних чисел, які мають різну кількість цифр, більшим є те, у якого цифр більше.

Із двох натуральних чисел, які мають однакову кількість цифр, більшим є те, у якого більше одиниць у найвищому розряді.

Число 0 менше від будь-якого натурального числа.

Правило округлення натурального числа

Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба:

1. усі цифри, записані за цим розрядом, замінити на нулі;
2. якщо першою наступною за цим розрядом цифрою є 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, яка залишилася, не змінювати;
3. якщо першою наступною за цим розрядом цифрою є 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, яка залишилася, збільшити на одиницю.

Додавання натуральних чисел

Від перестановки доданків сума не змінюється.

Цю властивість додавання називають переставною і записують так:

a + b = b + a

Віднімання натуральних чисел

Відняти від числа a число b означає знайти таке число, яке в сумі з числом b дає число a.

a – b = с, якщо с + b = a.

Щоб знайти:

• невідомий доданок — потрібно від суми відняти відомий доданок;
• невідоме зменшуване — потрібно до різниці додати від'ємник;
• невідомий від'ємник — потрібно від зменшуваного відняти різницю.

Добуток натуральних чисел

Щоб помножити натуральне число на розрядну одиницю (10, 100, 1000, ...), потрібно приписати до цього числа праворуч стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці.

Щоб помножити натуральні числа, які закінчуються нулями, можна:

1. відкинути нулі та перемножити утворені числа;
2. до одержаного добутку дописати праворуч стільки нулів, скільки їх відкинули в усіх множниках разом.

Властивості множення

Переставна властивість множення:

a ∙ b = b ∙ a

Від перестановки множників добуток не змінюється.

Сполучна властивість множення:

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Якщо добуток двох чисел помножити на третє число, то отримаємо таке саме значення, коли перше число помножимо на добуток другого та третього чисел.

Розподільна властивість множення:

a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c

a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c

Квадрат і куб

Квадратом числа a називають добуток двох множників, кожен з яких дорівнює a:

a² = a ∙ a

Кубом числа a називають добуток трьох множників, кожен з яких дорівнює a:

a³ = a ∙ a ∙ a

Ділення натуральних чисел

Щоб знайти невідомий множник, потрібно добуток поділити на відомий множник:

2 ∙ x = 6

x = 6 : 2

Щоб знайти невідоме ділене, потрібно частку помножити на дільник:

x : 2 = 3

x = 3 ∙ 2

Щоб знайти невідомий дільник, потрібно ділене поділити на частку:

6 : x = 3

x = 6 : 3

Числові вирази. Буквені вирази та формули

Вирази, які складаються із чисел, знаків арифметичних дій та дужок, називають числовими виразами.

Наприклад: 4512-200, 500+(45+41)

Результат, який отримано після виконання всіх дій у числовому виразі, називають значенням числового виразу.

Вирази, які містять букви, числа, знаки арифметичних дій та дужки, називають буквеними виразами.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його суміжних сторін:

S = a • b

Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін:

P = a • 2 + b • 2 або P = (a + b) • 2

Формула — це рівність, яка за допомогою буквеного виразу показує взаємозв’язок між величинами.

РІВНЯННЯ

Рівність, що містить невідоме число, називають рівнянням.

Значення невідомого, для якого рівняння перетворюється в правильну числову рівність, називають коренем, або розв’язком, рівняння.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або показати, що їх немає.

ЗАДАЧІ НА РУХ

s — відстань (шлях)

V — швидкість руху

t — час руху

Щоб знайти пройдений шлях, потрібно швидкість помножити на час руху:

s = v • t

Щоб знайти швидкість, потрібно пройдений шлях поділити на час руху:

v = s / t

Щоб знайти час руху, потрібно пройдений шлях поділити на швидкість:

t = s / v

• Якщо автомобілі рухаються назустріч один одному, то швидкість зближення дорівнює сумі швидкостей цих автомобілів.
• Якщо другий автомобіль рухається позаду першого з більшою швидкістю, то швидкість зближення дорівнює різниці швидкостей другого і першого автомобілів.
• Якщо перший автомобіль випереджає другий й рухається з більшою швидкістю, то швидкість віддалення дорівнює різниці швидкостей першого і другого автомобілів.
• Швидкість катера за течією річки дорівнює сумі швидкості катера в стоячій воді та швидкості течії річки.
• Швидкість катера проти течії річки дорівнює різниці швидкості катера в стоячій воді та швидкості течії річки.

Текстові задачі економічного змісту

Задачі економічного змісту — це задачі, пов’язані з вартістю товару, роботою, бюджетом сім’ї, масштабними покупками, податками та роботою банків, веденням фермерського господарства, використанням природних ресурсів тощо.

Вартість товару дорівнює ціні товару, помноженій на кількість товару:

C = a • p

C — вартість товару

a — ціна товару

p — кількість товару

Ціна товару дорівнює вартості, поділеній на кількість товару, а кількість товару дорівнює вартості, поділеній на ціну.

Швидкість роботи називають продуктивністю праці:

Обсяг роботи дорівнює продуктивності праці, помноженій на час виконання роботи:

A = N • t

A — обсяг роботи

N — продуктивність праці

t — час виконання роботи

Комбінаторні задачі

Задачі, у яких потрібно шукати відповіді на запитання «Скількома способами можна здійснити певну дію?», «Скільки всього є варіантів у тому чи іншому випадку?», називають комбінаторними.

Правила, за якими визначають порядок дій:

1. У виразах з дужками спочатку обчислюють значення виразів у дужках.
2. У виразах без дужок спочатку виконують піднесення до степеня, потім — по порядку зліва направо множення і ділення, а потім — додавання і віднімання.

Правило суми

В основі розв'язання багатьох задач комбінаторики лежать два простих правила — правило суми та правило добутку. Правило суми стверджує, що якщо є можливість вибрати елемент з деякої множини елементів А n способами, а елемент із множини В, яка не має спільних елементів із множиною А, — k способами, то вибрати елемент множини А або елемент множини В можна n + k способами. Це правило зручно продемонструвати з допомогою такої моделі. Якщо маємо дві урни і в одній із них знаходиться n куль, а в іншій k, то кількість способів, якими можна буде вийняти кулю з тієї чи іншої урни, дорівнюватиме n + k. Дійсно, з першої урни кулю можна вийняти n способами, але якщо з першої урни кулю не виймати, то тоді з другої урни її можна вийняти k способами. Тому загальна кількість способів, якими можна вийняти одну кулю з двох урн, буде дорівнювати n + k. У загальному випадку правило суми може бути сформульоване таким чином. Якщо треба виконати якусь дію n1, n2 ,… або nk способами, то кількість можливих способів реалізації цієї дії буде дорівнювати N = n1 + n2 + … + nk. Особливістю цього правила є те, що воно використовує сполучник або, який протиставляє різні дії одна одній. Приклад 1. На денне чергування в студентському гуртожитку може піти або студент із кімнати 1, де проживають три студенти, або студент із кімнати 2, де проживають чотири студенти. Скількома способами можна вибрати одного студента на денне чергування в гуртожитку? Розв'язання. Загальна кількість способів, якими можна вибрати одного студента або з кімнати 1 або з кімнати 2 на денне чергування, згідно з правилом суми буде 3 + 4 = 7.

Правило добутку

Правило добутку використовується тоді, коли кожний елемент множини А може бути вибраний разом з елементом множини В. Відповідно до кожного способу вибору елемента множини А буде зіставлятися k способів вибору елемента множини В. Тоді загальна кількість способів сумісного вибору елементів множини А з елементами множини В, очевидно, дорівнюватиме n × k. Модель урн можна застосувати і для ілюстрації правила добутку. У цьому випадку розглядаються дві урни, у першій із яких знаходиться n куль, а в другій k. Будемо вважати, що будь-якій кулі першої урни може відповідати будь-яка куля з другої урни. А оскільки в першій урні знаходиться n куль, то й кількість способів вибору куль із першої урни разом із різними кулями з другої урни буде дорівнювати n × k. У загальному вигляді правило Добутку буде мати такий вигляд. Якщо треба виконати якусь дію, що може бути виконана k сумісними діями, перша з яких може бути виконана n1 способами, друга — n2 і т. д. до k-ї дії, яку можна виконати nk способами, то основна дія може бути виконана М способами, де М = n1 × n2 × … × nk. У цьому правилі важливу роль відіграє сполучник і, який об'єднує різні дії в одну. Приклад 2. На денне чергування в студентському гуртожитку вибирається два студента — один студент із трьох, що проживають у кімнаті 1, і один студент із чотирьох, які проживають у кімнаті 2. Скільки існує можливих способів формування різних пар з двох студентів для чергування? Розв'язання. Кількість способів чергувань двох студентів з різних кімнат відповідно до правила добутку буде 3 × 4 = 12.

Відрізок

Якщо позначити дві точки А і В та сполучити їх під лінійку, отримаємо відрізок.

Два відрізки називають між собою рівними, якщо їх довжини однакові.

Довжиною ламаної називають суму довжин усіх її ланок.

Промінь і пряма

Промінь має початок, але не має кінця.

Пряма не має ні початку, ні кінця.

Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Координатний промінь. Шкала

Промінь ОХ, на якому вказано одиничний відрізок, а точка О є початком відліку, і кожному числу відповідає певна точка на промені, називають координатним променем.

Число, що відповідає точці на координатному промені, називають координатою цієї точки.

Систему поділок разом з відповідними числами називають шкалою.

Кут. Види кутів

Кут — це геометрична фігура, що складається з двох променів, які виходять з однієї точки.

Якщо сторони кута є доповняльними променями, то такий кут називають розгорнутим.

Якщо кут менший від прямого кута, то його називають гострим.

Якщо кут більший від прямого кута, але менший від розгорнутого, то його називають тупим.

Градусна міра прямого кута дорівнює 90°, а розгорнутого — 180°.

Градусна міра гострого кута менша від 90°.

Градусна міра тупого кута більша за 90°, але менша від 180°.

Прилад для вимірювання кутів називають транспортиром.

Два кути називають між собою рівними, якщо їх можна накласти один на одний так, щоб вони збігалися.

Трикутник і його периметр. Види трикутників

Якщо три точки, які не лежать на одній прямій, сполучити відрізками, то отримаємо трикутник.

Суму довжин усіх сторін трикутника називають його периметром.

Якщо в трикутнику дві сторони між собою рівні, то його називають рівнобедреним.

Рівні між собою сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а його третю сторону — основою.

Якщо в трикутнику всі кути гострі, то його називають гострокутним.

Якщо в трикутнику є прямий кут, то трикутник називають прямокутним.

Якщо в трикутнику є тупий кут, то трикутник називають тупокутним.

У трикутнику сума всіх кутів дорівнює 180°.

Прямокутник. Квадрат

Чотирикутник, у якого всі кути прямі, називають прямокутником.

P = 2(a + b) — периметр прямокутника

S = a • b — площа прямокутника

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони між собою рівні.

P = 4a — периметр квадрата

S = a² — площа квадрата

Дільники і кратні натурального числа

Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке a ділиться без остачі.

Кратним натурального числа а називають натуральне число, яке ділиться на a без остачі.

Ознаки подільності на 10, 5 і 2

На 10 діляться числа, запис яких закінчується цифрою 0.

На 5 діляться числа, запис яких закінчується цифрою 0 або 5.

На 2 діляться числа, запис яких закінчується парною цифрою.

Ознаки подільності на 9 і 3

На 9 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 9.

На 3 діляться числа, сума цифр яких ділиться на 3.

Прості і складені числа

Просте число — це натуральне число, яке має лише два різних дільники: одиницю і себе.

Складене число — це натуральне число, яке має більше ніж два дільники.

Якщо складене число записати у вигляді добутку простих множників, це називається розкладанням на прості множники.

Найбільший спільний дільник

Найбільшим спільним дільником кількох чисел називають найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з них.

Щоб знайти НСД, потрібно:

• Розкласти числа на прості множники.
• Виписати всі спільні множники і обчислити їх добуток.

Найменше спільне кратне

Найменше спільне кратне кількох чисел — це найменше число, яке ділиться на кожне з них.

Щоб знайти НСК, потрібно:

• Розкласти числа на прості множники.
• Доповнити розклад одного з чисел множниками, яких не вистачає.
• Обчислити добуток отриманих множників.

Звичайні дроби

Число виду \begin{equation} \frac{1}{2} \end{equation} , де a і b — натуральні числа, називають звичайним дробом.

b — знаменник дробу, показує кількість рівних частин.

a — чисельник дробу, показує кількість взятих частин.

Порівняння звичайних дробів з однаковими знаменниками

З двох дробів з однаковими знаменниками більшим є той, чисельник якого більший, і меншим — той, чисельник якого менший.

Правильні і неправильні дроби

Дріб, чисельник якого менший від знаменника, називають правильним дробом. Він менший від 1.

Дріб, чисельник якого більший або дорівнює знаменнику, називають неправильним дробом. Він більший або дорівнює 1.

Мішані числа

Неправильний дріб, записаний у вигляді цілої і дробової частин, називають мішаним числом.

Щоб перетворити мішане число у неправильний дріб:

• Помножте цілу частину на знаменник дробової частини.
• Додайте до отриманого добутку чисельник дробової частини.
• Результат запишіть як чисельник, а знаменник залиште без змін.

Додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками

Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити без змін.

Додавання і віднімання мішаних чисел

Для додавання мішаних чисел:

• Складіть цілі частини окремо, дробові частини окремо.
• Якщо дробова частина результату неправильна, виділіть цілу частину і додайте до цілої частини суми.

Для віднімання мішаних чисел:

• Якщо дробова частина зменшуваного менша за дробову частину від’ємника, спочатку перетворіть її в неправильний дріб.
• Відніміть цілі і дробові частини окремо.

Десятковий дріб

Будь-який звичайний дріб, знаменник якого є розрядною одиницею (10, 100, 1000, ...), можна записати у вигляді десяткового дробу.

Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий:

• Поділити чисельник дробу на його знаменник.
• Записати результат у десятковій формі.

Порівняння десяткових дробів

Якщо справа до десяткового дробу приписати один чи кілька нулів або відкинути їх, дріб залишається рівним.

З двох десяткових дробів більший той, у якого більша ціла частина. Якщо цілі частини рівні, порівнюють десяті, соті і так далі.

Округлення десяткових дробів

Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду:

• Відкинути всі цифри за цим розрядом.
• Якщо перша цифра, яку відкидають, менша за 5, залишити останню цифру без змін.
• Якщо перша цифра, яку відкидають, 5 або більше, останню цифру збільшити на 1.

Додавання і віднімання десяткових дробів

Щоб додати або відняти десяткові дроби:

• Запишіть дроби один під одним так, щоб коми стояли одна під одною.
• Зрівняйте кількість знаків після коми, дописавши нулі.
• Виконайте додавання або віднімання, не звертаючи уваги на коми.
• У результаті поставте кому на те саме місце, що і в компонентах.

Множення десяткових дробів

Щоб перемножити два десяткові дроби:

• Помножте їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми.
• У добутку відокремте справа комою стільки десяткових знаків, скільки їх мають обидва множники разом.
• Якщо в результаті недостатньо цифр, допишіть зліва нулі.

При множенні десяткового дробу на 10, 100, 1000 перенесіть кому вправо на стільки знаків, скільки нулів у множнику.

Ділення десяткового дробу на натуральне число

Щоб поділити десятковий дріб на натуральне число:

• Поділ виконується як для натуральних чисел.
• Кома в частці ставиться, коли закінчується ділення цілої частини.
• Якщо потрібно, допишіть справа нулі, щоб завершити ділення.

Для ділення на 10, 100, 1000 перенесіть кому вліво на стільки знаків, скільки нулів у дільнику.

Ділення на десятковий дріб

Щоб поділити число на десятковий дріб:

• Перенесіть кому вправо в діленому і дільнику на стільки знаків, скільки їх після коми в дільнику.
• Виконайте ділення на натуральне число.

При діленні на 0,1; 0,01; 0,001 перенесіть кому вправо на відповідну кількість знаків.

Середнє арифметичне

Середнє арифметичне чисел — це частка від ділення суми чисел на їх кількість.

Формула: середнє арифметичне = (сума чисел) ÷ (кількість чисел)

Ця величина використовується для обчислення середнього значення в задачах із статистики.