Алгебра 10 клас: Теоретичний довідник

Основні визначення, властивості та формули з курсу алгебри для 10 класу.

Функції та їх властивості

Які основні властивості функцій?

Область визначення ($D(f)$): множина всіх значень, яких може набувати аргумент $x$.
Область значень ($E(f)$): множина всіх значень, яких набуває функція $y$.
Нулі функції: значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю ($y=0$).
Приклад: для функції $y = x - 5$, нулем є $x=5$.
Парність/непарність: функція парна, якщо $f(-x) = f(x)$. Непарна, якщо $f(-x) = -f(x)$.
Приклад: $y=x^2$ — парна, бо $(-x)^2 = x^2$. Функція $y=x^3$ — непарна, бо $(-x)^3 = -x^3$.

Тригонометричні функції

Що таке радіанна міра кута?

Радіан — це центральний кут, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. $180^\circ = \pi$ радіан.

Приклад: $60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радіан.

Визначення тригонометричних функцій

Для точки $P(x, y)$ на одиничному колі, що відповідає куту $\alpha$:

Синус ($\sin \alpha$): ордината точки $P$, тобто $y$.
Косинус ($\cos \alpha$): абсциса точки $P$, тобто $x$.
Тангенс ($\text{tg} \, \alpha$): відношення $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Котангенс ($\text{ctg} \, \alpha$): відношення $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Основні тригонометричні тотожності

Які є основні тригонометричні тотожності?

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$\text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
$\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1$

Приклад: Якщо $\sin \alpha = 0.6$, то $\cos^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$. Отже, $\cos \alpha = \pm 0.8$.

Формули зведення

Яке правило для формул зведення?

Формули зведення дозволяють виразити тригонометричні функції кутів виду $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$, $\pi \pm \alpha$ і т.д. через функції кута $\alpha$.

Знак: визначається знаком початкової функції у відповідній чверті.
Назва: якщо кут містить $\pi$ або $2\pi$, назва не змінюється. Якщо $\frac{\pi}{2}$ або $\frac{3\pi}{2}$ — змінюється на "кофункцію" (sin на cos, tg на ctg і навпаки).

Приклад: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$. Кут у II чверті, косинус там від'ємний. Назва змінюється. Отже, $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha$.

Формули додавання

Які є формули додавання?

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
$\text{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg} \, \alpha \pm \text{tg} \, \beta}{1 \mp \text{tg} \, \alpha \text{tg} \, \beta}$

Приклад: $$ \begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ+30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

Формули подвійного кута

Які є формули подвійного кута?

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$\text{tg} \, 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}$

Приклад: Якщо $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ і $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, то $\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.