Алгебра 11 клас: Теоретичний довідник
Основні визначення, властивості та формули з курсу алгебри для 11 класу.
Показникова функція
Що таке показникова функція?
Показникова функція — це функція виду $y = a^x$, де $a$ — основа степеня ($a > 0, a \neq 1$), а $x$ — аргумент.
- Якщо $a > 1$, функція є зростаючою.
- Якщо $0 < a < 1$, функція є спадаючою.
Що таке показникове рівняння?
Показникове рівняння — це рівняння, в якому змінна міститься в показнику степеня. Найпростіше рівняння $a^x = a^b$ розв'язується як $x = b$.
Логарифмічна функція
Що таке логарифм?
Логарифмом додатного числа $b$ за основою $a$ ($a>0, a \neq 1$) називають показник степеня, до якого треба піднести основу $a$, щоб отримати число $b$. Запис: $\log_a b = c \iff a^c = b$.
Які основні властивості логарифмів?
Для $a>0, a \neq 1, x>0, y>0$:
- Основна логарифмічна тотожність: $a^{\log_a b} = b$
- Логарифм добутку: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- Логарифм частки: $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
- Логарифм степеня: $\log_a x^p = p \cdot \log_a x$
Похідна та її застосування
Що таке похідна?
Похідна функції $f(x)$ у точці $x_0$ — це границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Позначається $f'(x)$.
Які основні правила диференціювання?
- $(C)' = 0$ (похідна сталої)
- $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
- $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Як похідна допомагає досліджувати функцію?
- Якщо $f'(x) > 0$ на проміжку, то функція зростає.
- Якщо $f'(x) < 0$ на проміжку, то функція спадає.
- Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними. В них можуть бути екстремуми (максимуми або мінімуми) функції.
Первісна та інтеграл
Що таке первісна?
Функцію $F(x)$ називають первісною для функції $f(x)$ на деякому проміжку, якщо для всіх $x$ з цього проміжку виконується рівність $F'(x) = f(x)$.
Що таке визначений інтеграл?
Визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, де $F(x)$ — первісна для $f(x)$. Геометрично він дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції $y=f(x)$, віссю $Ox$ і прямими $x=a, x=b$.
Елементи комбінаторики
Що таке перестановки, розміщення та комбінації?
Це способи вибору та розташування елементів множини:
- Перестановки ($P_n$): сполуки, що відрізняються лише порядком елементів. $P_n = n!$.
- Розміщення ($A_n^k$): сполуки, що відрізняються або елементами, або їх порядком. $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
- Комбінації ($C_n^k$): сполуки, що відрізняються хоча б одним елементом (порядок неважливий). $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
