Геометрія 10 клас: Теоретичний довідник

Основні поняття, аксіоми, теореми та властивості з курсу стереометрії для 10 класу.

Розділ 1. Вступ до стереометрії

Що таке стереометрія та які її основні аксіоми?

Стереометрія — це розділ геометрії, який вивчає властивості фігур у просторі. Основними поняттями є точка, пряма і площина.

Аксіоми стереометрії:

Сп: Якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма належить цій площині.
CIII: Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій.
CIV: Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Якими способами можна задати площину?

Площину можна задати:

Трьома точками, що не лежать на одній прямій.
Прямою і точкою, що їй не належить.
Двома прямими, що перетинаються.
Двома паралельними прямими (це буде розглянуто далі).

Що таке многогранник?

Многогранник — це геометричне тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості плоских многокутників (граней).

Куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри рівні.

Піраміда — це многогранник, обмежений многокутником (основою) і трикутниками (бічними гранями), що мають спільну вершину.

Що таке переріз многогранника та метод слідів?

Переріз многогранника — це многокутник, що утворюється при перетині многогранника січною площиною.

Метод слідів — це метод побудови перерізу, що ґрунтується на знаходженні ліній перетину ("слідів") січної площини з площинами граней многогранника.

Розділ 2. Паралельність прямих і площин у просторі

Як можуть бути розміщені дві прямі у просторі?

Дві прямі у просторі можуть:

Перетинатися (лежати в одній площині та мати одну спільну точку).
Бути паралельними (лежати в одній площині і не перетинатися).
Бути мимобіжними (не лежати в одній площині).

Сформулюйте основну теорему про паралельні прямі у просторі.

Ознака паралельності прямих: Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Сформулюйте ознаку мимобіжності прямих.

Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, то ці дві прямі — мимобіжні.

Як можуть бути розміщені пряма і площина?

Пряма і площина можуть:

Перетинатися (мати одну спільну точку).
Бути паралельними (не мати спільних точок).
Пряма може належати площині.

Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини.

Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то вона паралельна даній площині.

Як можуть бути розміщені дві площини?

Дві площини можуть перетинатися (по прямій) або бути паралельними (не мати спільних точок).

Сформулюйте ознаку та властивості паралельних площин.

Ознака: Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Властивості:

Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину будуть паралельні.
Відрізки паралельних прямих, кінці яких належать двом паралельним площинам, рівні.

Що таке паралельне проекціювання та які його властивості?

Паралельне проекціювання — це спосіб зображення просторових фігур на площині.

Властивості:

Проекцією прямої є пряма, проекцією відрізка є відрізок.
Проекції паралельних прямих паралельні або збігаються.
Відношення довжин паралельних відрізків зберігається.

Розділ 3. Перпендикулярність прямих і площин у просторі

Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить у цій площині.

Ознака: Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих площини, які перетинаються, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Що таке перпендикуляр і похила до площини?

Перпендикуляр — відрізок, що сполучає точку з площиною і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.
Похила — будь-який відрізок, що сполучає точку з площиною, але не є перпендикуляром.
Проекція похилої — відрізок, що сполучає основу перпендикуляра з основою похилої.

Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки.

Що таке двогранний кут?

Двогранний кут — це фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою (ребром). Його мірою є градусна міра лінійного кута.

Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

Дві площини називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Ознака: Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Як визначають відстані у просторі?

Відстань від точки до площини — довжина перпендикуляра.
Відстань між паралельними площинами — довжина спільного перпендикуляра.
Відстань між мимобіжними прямими — довжина їх спільного перпендикуляра.

Як визначають кути у просторі?

Кут між прямою і площиною — кут між прямою і її проекцією на цю площину.
Кут між площинами — кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до їх лінії перетину.

Що таке ортогональне проекціювання?

Ортогональне проекціювання — це паралельне проекціювання, напрям якого перпендикулярний до площини проекції.

Площа ортогональної проекції многокутника: $S_{пр} = S \cdot \cos\varphi$, де $\varphi$ — кут між площиною многокутника і площиною проекції.

Розділ 4. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

Що таке прямокутна система координат у просторі?

Це система, задана трьома попарно перпендикулярними осями ($x, y, z$), що перетинаються в одній точці (початку координат). Кожна точка простору має унікальну впорядковану трійку чисел — координати ($x; y; z$).

Як знайти відстань між точками та координати середини відрізка у просторі?

Відстань між точками $A(x_1; y_1; z_1)$ і $B(x_2; y_2; z_2)$:
$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Координати середини відрізка AB:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}; y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}; z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Що таке вектор у просторі?

Вектор — це напрямлений відрізок. Вектори, які при відкладанні від однієї точки лежать в одній площині, називають компланарними.

Назвіть основні правила дій над векторами.

Правило трикутника та правило паралелограма для додавання, правило паралелепіпеда для додавання трьох некомпланарних векторів.

Як знайти координати та модуль вектора?

Координатами вектора $\vec{AB}$ з початком $A(x_A; y_A; z_A)$ і кінцем $B(x_B; y_B; z_B)$ є числа $(x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

Модуль вектора $\vec{a}(x; y; z)$: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Що таке скалярний добуток векторів?

Скалярним добутком векторів називають число, що дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними.

Формула через координати: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Формула через кут: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$

Умова перпендикулярності: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Наведіть приклади геометричних місць точок у просторі.

ГМТ, рівновіддалених від даної точки, — сфера.
ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок, — площина, що є серединним перпендикуляром до відрізка.