Геометрія 8 клас: Теоретичний довідник

Чотирикутником називають фігуру, що складається із чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з цих точок не лежать на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не мають жодних інших спільних точок, крім даних.

Точки $A, B, C, D$ називають вершинами чотирикутника, а відрізки $AB, BC, CD$ і $DA$, що їх сполучають, – сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника, які є кінцями однієї його сторони, називають сусідніми, не сусідні вершини називають протилежними.

Діагоналі чотирикутника – це відрізки, які сполучають протилежні вершини чотирикутника.

Кутами чотирикутника $ABCD$ називають кути $\angle DAB, \angle ABC, \angle BCD$ і $\angle CDA$.

Кути чотирикутника називають протилежними, якщо їхні вершини – протилежні вершини чотирикутника, і сусідніми, якщо їхні вершини – сусідні вершини чотирикутника.

Периметром чотирикутника називають суму довжин усіх його сторін.

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону.

Прямокутником – це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші непаралельні.

Паралельні сторони трапеції – основи, а непаралельні – бічні сторони.

Висота трапеції – це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки основи трапеції до прямої, що містить протилежну основу.

Трапеція прямокутна, якщо один з її кутів прямий. Трапеція рівнобічна, якщо її бічні сторони рівні.

Центральний кут – це кут з вершиною в центрі кола.

Градусна міра дуги кола – це градусна міра відповідного центрального кута.

Вписаний кут – це кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло.

Чотирикутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на колі. Коло при цьому називають описаним навколо многокутника.

Многокутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола. Коло при цьому називають вписаним у многокутник.

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини її бічних сторін.

Відношенням відрізків $AB$ і $CD$ називають відношення їхніх довжин.

Два трикутники називають подібними, якщо їхні кути відповідно рівні й сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого.

Відрізок $k$ називають середнім пропорційним (або середнім геометричним) відрізків $m$ і $n$, якщо $k^2 = m \cdot n$.

Синус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута прямокутного трикутника – це відношення протилежного катета до прилеглого.

Многокутником називають фігуру, що складається з відрізків $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$, де сусідні відрізки не лежать на одній прямій, а несуідні відрізки не мають спільних точок.

Точки $A_1, A_2, ..., A_n$ називають вершинами многокутника, а відрізки $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ – сторонами многокутника. Кути, сторони яких містять сторони многокутника, називають кутами многокутника.

Суму довжин усіх сторін многокутника називають його периметром.

Дві сторони многокутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну вершину. Якщо сторони многокутника спільної вершини не мають, їх називають несусідніми. Дві вершини многокутника називають сусідніми, якщо вони належать одній стороні; якщо вершини многокутника не належать одній стороні, їх називають несусідніми.

Відрізок, який сполучає дві несуідні вершини многокутника, називають діагоналлю многокутника.

Якщо всі кути многокутника менші від розгорнутого кута ($180^\circ$), то многокутник називають опуклим, якщо хоча б один кут многокутника більший за розгорнутий, то многокутник називають неопуклим.

Площа многокутника – це та частина площини, яку займає многокутник.

Основні властивості площі:

• площа кожного многокутника є додатним числом;
• рівні між собою многокутники мають рівні площі;
• якщо многокутник розбито на кілька многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників;
• одиницею вимірювання площі є площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання довжини (одиничний квадрат).

Відрізком називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома її точками, разом із цими точками.

Кожну з частин, на які точка ділить пряму, разом з цією точкою називають променем. Точку називають початком променя.

Два промені, що мають спільний початок та доповнюють один одного до прямої, називають доповняльними.

Кут – це геометрична фігура, яка складається з двох променів, що виходять з однієї точки. Промені називають сторонами кута, а їхній спільний початок – вершиною кута.

Бісектрисою кута називають промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами й ділить його навпіл.

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони не перетинаються.

Пряму $c$ називають січною для прямих $a$ і $b$, якщо вона перетинає їх у двох точках.

Пари кутів 4 і 5; 3 і 6 називають внутрішніми односторонніми кутами; пари кутів 4 і 6; 3 і 5 – внутрішніми різносторонніми; пари кутів 1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8 – відповідними кутами.

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Трикутник називають рівнобедреним, якщо в нього дві сторони між собою рівні.

Трикутник, усі сторони якого між собою рівні, називають рівностороннім.

Трикутник, усі сторони якого різняться довжиною, називають різностороннім.

• Гострокутний (усі кути якого гострі).
• Прямокутний (один з кутів якого прямий, а два інші – гострі).
• Тупокутний (один з кутів якого тупий, а два інші – гострі).

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з кутом цього трикутника.

У прямокутному трикутнику сторона, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки.

Цю точку називають центром кола; відрізок, що сполучає точку кола з його центром, називають радіусом кола.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою.

Хорду, що проходить через центр кола, називають діаметром.

Частину площини, обмежену колом, разом із самим колом, називають кругом.

Дотичною до кола називають пряму, яка має одну спільну точку з колом. Цю точку називають точкою дотику.

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін. При цьому трикутник називають описаним навколо кола.

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини трикутника. При цьому трикутник називають вписаним у коло.