Геометрія 9 клас: Теоретичний довідник

Основні визначення, теореми та формули з курсу геометрії для 9 класу.

Координатна площина. Відстань між точками

Що називають координатною площиною?

Площину, на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною площиною.

Що називають абсцисою і ординатою точки?

Абсцисою точки $A(x; y)$ називають число $x$. Ординатою точки $A(x; y)$ називають число $y$.

Як записують координати точки?

Координати точки записують у дужках поряд з назвою точки: $A(x; y)$. На першому місці завжди пишуть абсцису, на другому – ординату.

Які координати називають декартовими?

Введені на площині координати $x$ і $y$ називають декартовими на честь французького математика Рене Декарта.

Чому дорівнює абсциса точки, яка належить осі Y?

Абсциса такої точки дорівнює нулю.

Чому дорівнює ордината точки, яка належить осі X?

Ордината такої точки дорівнює нулю.

У чому полягає суть координатного методу?

Координатний метод дозволяє розв’язувати геометричні задачі, подаючи розташування точок та фігур через алгебраїчні співвідношення між їх координатами. Розділ геометрії, що вивчає такі методи, називають аналітичною геометрією.

Як знайти координати середини відрізка?

Координати точки $M$ – середини відрізка $AB$, де $A(x_1; y_1)$ і $B(x_2; y_2)$, знаходимо за формулами:

Формули: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$; $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Як знайти відстань між двома точками на координатній площині?

Відстань між точками $A(x_1; y_1)$ і $B(x_2; y_2)$ можна знайти за формулою:

Формула відстані: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Рівняння фігур

Що називають рівнянням фігури на координатній площині?

Рівнянням фігури на координатній площині називають рівняння з двома змінними $x$ і $y$, якщо виконуються дві умови:

координати будь-якої точки фігури задовольняють це рівняння;
будь-яка пара чисел $(x; y)$, що задовольняє це рівняння, є координатами деякої точки фігури.

Приклад (рівняння кола): $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ є рівнянням кола з центром в точці $(a; b)$ та радіусом $R$.

Який вигляд має рівняння прямої?

Рівняння прямої у прямокутній системі координат має вигляд $ax + by + c = 0$, де $a, b, c$ – числа, причому $a$ і $b$ одночасно не дорівнюють нулю. Це рівняння називають загальним рівнянням прямої.

Рівняння прямої через дві точки $A(x_1; y_1)$ і $B(x_2; y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ (якщо $x_1 \neq x_2$ та $y_1 \neq y_2$).

Вектори

Які величини називають векторними?

Величини, що характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямом, називають векторними величинами, або векторами.

Що називають вектором?

Відрізок, для якого визначено напрям, називають напрямленим відрізком, або вектором.

Який вектор називають нульовим?

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називають нульовим вектором (або нуль-вектором). Нульовий вектор напряму не має.

Що називають модулем вектора?

Модулем (довжиною або абсолютною величиною) вектора називають довжину відрізка, що зображує вектор.

Які вектори називають колінеарними?

Колінеарними називають два ненульових вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Якими можуть бути колінеарні вектори?

Колінеарні вектори бувають співнапрямленими (мають однаковий напрям) або протилежно напрямленими.

Які вектори називають рівними?

Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і їх модулі між собою рівні.

Що називають координатами вектора?

Координатами вектора з початком $A(x_1; y_1)$ і кінцем $B(x_2; y_2)$ називають числа $x = x_2 - x_1$ і $y = y_2 - y_1$.

Чому дорівнює модуль вектора?

Модуль вектора $\vec{a}(x; y)$ дорівнює $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Який вектор називають сумою векторів $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$?

Сумою векторів $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$ називають вектор $\vec{c}(x_1 + x_2; y_1 + y_2)$.

Сформулюйте правило паралелограма для додавання векторів.

Щоб знайти суму двох неколінеарних векторів за правилом паралелограма, їх відкладають від спільного початку, будують на даних векторах паралелограм, і вектор, що є діагоналлю паралелограма, яка виходить з цієї ж точки, буде сумою векторів.

Що називають різницею двох векторів?

Різницею векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ називають такий вектор $\vec{c}$, що $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$.

Як знайти різницю векторів $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$?

Різницею векторів $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$ буде вектор $\vec{c}(x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.

Який вектор називають добутком вектора $\vec{a}(x; y)$ на число $\lambda$?

Добутком вектора $\vec{a}(x; y)$ на число $\lambda$ називають вектор $\vec{b}(\lambda x; \lambda y)$.

Сформулюйте умови колінеарності векторів.

Два ненульові вектори $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$ колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні:

Умова колінеарності: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$

Що називають скалярним добутком векторів?

Скалярним добутком векторів $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$ називають число $x_1x_2 + y_1y_2$.

Теорема: Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \varphi$.

Що називають кутом між векторами?

Кутом між векторами, відкладеними від однієї точки, називають кут між променями, що містять ці вектори. Кут між співнапрямленими векторами дорівнює $0^\circ$, а між протилежно напрямленими – $180^\circ$.

Як знайти косинус кута між векторами?

Косинус кута $\varphi$ між ненульовими векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2)$ можна обчислити за формулою:

Формула косинуса кута: $\cos \varphi = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Розв'язування трикутників

Сформулюйте теорему косинусів.

Теорема косинусів: Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Формула: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Сформулюйте теорему синусів.

Теорема синусів: Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Формула: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, де $R$ – радіус описаного кола.

Що означає "розв’язати трикутник"?

Розв’язати трикутник – означає знайти невідомі його сторони і кути за якими-небудь відомими сторонами і кутами.

Які є формули для знаходження площі трикутника?

Існує кілька основних формул для обчислення площі трикутника:

Через дві сторони і кут між ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, де $p$ – півпериметр.

Через радіус вписаного кола: $S = pr$, де $r$ – радіус вписаного кола.

Через радіус описаного кола: $S = \frac{abc}{4R}$, де $R$ – радіус описаного кола.

Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Що називають правильним многокутником?

Правильним многокутником називають опуклий многокутник, у якого всі сторони між собою рівні і всі кути між собою рівні.

Чому дорівнює кут правильного n-кутника?

Кут $\alpha_n$ правильного n-кутника обчислюється за формулою:

Формула: $\alpha_n = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$

Чому дорівнює зовнішній кут правильного n-кутника?

Зовнішній кут $\beta_n$ правильного n-кутника обчислюється за формулою:

Формула: $\beta_n = \frac{360^\circ}{n}$

Як обчислити довжину кола?

Довжина кола $C$, радіус якого дорівнює $R$, обчислюється за формулою:

Формула: $C = 2\pi R$

Як обчислити довжину дуги кола?

Довжина дуги кола $L$, що відповідає центральному куту $\alpha$, обчислюється за формулою:

Формула: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Як обчислити площу круга?

Площа $S$ круга, радіус якого дорівнює $R$, обчислюється за формулою:

Формула: $S = \pi R^2$

Як обчислити площу сектора?

Сектором називають частину круга, обмежену двома радіусами і дугою між ними. Його площа обчислюється за формулою:

Формула: $S_{sector} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Як обчислити площу сегмента?

Сегментом називають частину круга, обмежену хордою і відповідною їй дугою. Його площа обчислюється як різниця (або сума) площ відповідного сектора і трикутника, утвореного радіусами та хордою.

Геометричні перетворення

Що називають перетворенням фігури F у фігуру F'?

Перетворенням фігури $F$ у фігуру $F'$ називають таку відповідність, при якій кожній точці фігури $F$ відповідає певна точка фігури $F'$, кожна точка $F'$ є образом деякої точки $F$, і різним точкам $F$ відповідають різні точки $F'$.

Яке перетворення фігури називають переміщенням (рухом)?

Перетворення однієї фігури в іншу називають переміщенням (рухом), якщо воно зберігає відстань між точками.

Які фігури називають рівними?

Дві фігури називають рівними, якщо при переміщенні вони переходять одна в одну.

Що таке симетрія відносно точки?

Дві точки $A$ і $A'$ називають симетричними відносно точки O, якщо O є серединою відрізка $AA'$. Таке перетворення називають центральною симетрією.

Що таке симетрія відносно прямої?

Дві точки $A$ і $A'$ називають симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма є серединним перпендикуляром до відрізка $AA'$. Таке перетворення називають осьовою симетрією.

Що називають поворотом?

Поворотом навколо точки $O$ на кут $\alpha$ називають перетворення, при якому точка $A$ переходить у точку $A'$ так, що $OA = OA'$ і $\angle AOA' = \alpha$.

Що називають паралельним перенесенням?

Паралельним перенесенням називають перетворення, при якому довільна точка $M(x; y)$ фігури переходить у точку $M'(x + a; y + b)$, де $a$ і $b$ – одні й ті самі для всіх точок фігури.

Що називають перетворенням подібності?

Перетворення фігури $F$ у фігуру $F'$ називають перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів (коефіцієнт подібності $k$).