Математика 6 клас: Теоретичний довідник

Одну соту частину числа (або числового значення величини) називають відсотком (процентом). Для позначення використовують символ %.

Щоб перетворити відсотки в десятковий дріб, потрібно кількість відсотків поділити на 100.

Щоб перетворити десятковий дріб у відсотки, потрібно дріб помножити на 100.

Щоб перетворити звичайний дріб у відсотки, потрібно спочатку перетворити його в десятковий дріб, а потім помножити на 100.

Щоб знайти відсотки від числа, потрібно число поділити на 100 і помножити на потрібну кількість відсотків.

Щоб знайти число за значенням його відсотків, потрібно значення відсотків поділити на кількість відсотків і результат помножити на 100.

Якщо ділене і дільник помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то частка від цього не зміниться.

Значення дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля, число.

Ділення чисельника і знаменника дробу на одне й те саме натуральне число називають скороченням дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу — взаємно прості числа (мають спільний дільник лише 1), то дріб скоротити не можна. Такий дріб називають нескоротним.

Число, на яке множать чисельник і знаменник дробу, щоб звести його до нового знаменника, називають додатковим множником.

Найменше спільне кратне (НСК) знаменників двох або більше дробів називають найменшим спільним знаменником цих дробів.

Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:

1. Знайти НСК знаменників цих дробів (це і буде найменший спільний знаменник).
2. Знайти для кожного дробу додатковий множник (поділити спільний знаменник на знаменник дробу).
3. Помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, достатньо звести їх до спільного знаменника і порівняти одержані дроби (більшим буде той, у якого чисельник більший).

Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, потрібно додати (відняти) їхні чисельники, а знаменник залишити без змін.

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, достатньо:

1. Звести ці дроби до найменшого спільного знаменника.
2. Додати (відняти) їх за правилом для дробів з однаковими знаменниками.

Щоб додати мішані числа, потрібно додати цілі частини до цілих, а дробові — до дробових.

Щоб знайти різницю мішаних чисел, потрібно від цілої і дробової частин зменшуваного відняти відповідно цілу та дробову частини від'ємника.

Щоб перетворити звичайний дріб у десятковий, потрібно чисельник поділити на знаменник.

Якщо при діленні чисельника на знаменник отримуємо нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр повторюються в тій самій послідовності, такий дріб називають нескінченним періодичним десятковим дробом.

Скінченний десятковий дріб, що утворився після округлення нескінченного десяткового дробу до певного розряду, називають десятковим наближенням звичайного дробу до цього розряду.

Щоб знайти десяткове наближення звичайного дробу до певного розряду, достатньо:

1. Виконати ділення до наступного розряду.
2. Знайдений результат округлити до потрібного розряду.

Добуток двох звичайних дробів — це дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників цих дробів.

Щоб перемножити мішані числа, їх треба подати у вигляді неправильного дробу і далі виконати множення за правилом множення звичайних дробів.

Для множення звичайних дробів справджуються ті самі властивості, що й для множення натуральних чисел: переставна (ab = ba), сполучна (a(bc) = (ab)c) та розподільна (a(b+c) = ab+ac).

Щоб знайти дріб від числа, достатньо число помножити на цей дріб.

Два числа, добуток яких дорівнює 1, називають взаємно оберненими.

Для дробу a/b оберненим є дріб b/a.

Щоб поділити число на дріб, потрібно помножити його на число, обернене до дільника.

Щоб поділити мішані числа, їх потрібно спочатку перетворити в неправильні дроби, а потім виконати дію ділення.

Щоб знайти число за значенням його дробу, достатньо це значення поділити на цей дріб.

Частку двох чисел називають відношенням цих чисел. Відношення показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число складає від другого.

Відношення двох чисел не зміниться, якщо кожне з них помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля, число.

Для відношення a : b відношення b : a називають оберненим.

Рівність двох відношень називають пропорцією.

У пропорції a : b = c : d, або a/b = c/d, a і d називають крайніми членами, а b і c — середніми членами.

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів: a · d = b · c.

Дві величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називають прямо пропорційними. Зі збільшенням (зменшенням) значень однієї з них у кілька разів, значення другої збільшується (зменшується) у стільки само разів.

Масштаб — це відношення довжини відрізка на карті (або плані) до довжини відповідного відрізка на місцевості. Наприклад, масштаб 1:100 000 означає, що 1 см на карті відповідає 100 000 см (або 1 км) на місцевості.

Поділ числа в даному відношенні використовується для розподілу числа або величини на частини, пропорційні деяким заданим числам.

Дві величини, добуток відповідних значень яких є сталим, називають обернено пропорційними. Зі збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів, значення другої зменшується (збільшується) у таку саму кількість разів.

Щоб знайти, скільки відсотків одне число складає від іншого (тобто знайти відсоткове відношення), достатньо знайти відношення цих чисел і помножити його на 100%.

Щоб дізнатися, на скільки відсотків змінилася величина, достатньо знайти відношення зміни величини до її початкового значення і помножити на 100%.

Для розрахунків відсотки зручно записувати у вигляді десяткових або звичайних дробів.

Коло — це геометрична фігура, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центру. Радіус (r) — відрізок, що сполучає центр з точкою на колі. Діаметр (d) — відрізок, що сполучає дві точки кола і проходить через центр. d = 2r.

Довжина кола C обчислюється за формулою: C = πd або C = 2πr.

Число π (пі) — це відношення довжини кола до його діаметра. Це нескінченний десятковий дріб. Для обчислень використовують наближені значення: π ≈ 3,14 або π ≈ 22/7.

Круг — це частина площини, яка лежить усередині кола, разом із самим колом.

Площа круга S дорівнює добутку числа π на квадрат радіуса: S = πr².

Круговий сектор — це частина круга, обмежена двома радіусами та дугою кола.

Кругові діаграми використовуються для наочного зображення співвідношення частин цілого.

Числа зі знаком «–» (наприклад, -2; -1,5) називають від’ємними. Числа зі знаком «+» (або без нього) називають додатними. Число 0 не є ані додатним, ані від’ємним.

Координатна пряма — це пряма з вибраним на ній початком відліку (точка О), одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом (позначається стрілкою).

Число, якому відповідає певна точка на координатній прямій, називають координатою цієї точки.

Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаками, називають протилежними. Число 0 протилежне самому собі.

Натуральні числа, протилежні їм числа і число 0 називають цілими числами.

Цілі числа та дробові числа (додатні і від’ємні) називають раціональними числами.

Модулем числа називають відстань від початку відліку до точки, що зображує це число на координатній прямій. Модуль позначається двома вертикальними рисками: |a|.

• Модуль додатного числа є саме це число: |5| = 5.
• Модуль від’ємного числа є протилежне йому число: |-5| = 5.
• Модуль числа 0 дорівнює нулю: |0| = 0.
• Модуль будь-якого числа є невід’ємним числом (|a| ≥ 0).
• Протилежні числа мають рівні модулі: |−a| = |a|.

З двох чисел меншим є те, яке на координатній прямій розміщено лівіше, а більшим — те, яке розміщено правіше.

• Будь-яке від’ємне число менше за нуль і менше за будь-яке додатне число.
• З двох від’ємних чисел більшим є те, модуль якого менший.

Щоб додати два від’ємних числа, достатньо додати їхні модулі й перед отриманим числом записати знак «–».

Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший і перед результатом поставити знак того доданка, модуль якого був більшим.

Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю: a + (–a) = 0.

• Переставна властивість: a + b = b + a.
• Сполучна властивість: (a + b) + c = a + (b + c).
• Додавання нуля: a + 0 = a.

Щоб від одного числа відняти друге, достатньо до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: a - b = a + (–b).

Якщо перед дужками стоїть знак «+», то при їх розкритті знаки доданків у дужках зберігаються.

Якщо перед дужками стоїть знак «–», то при їх розкритті знаки всіх доданків у дужках змінюються на протилежні.

Добуток двох чисел з різними знаками є число від’ємне. Щоб знайти його модуль, потрібно перемножити модулі множників.

Добуток двох від’ємних чисел є число додатне. Щоб знайти його модуль, потрібно перемножити модулі множників.

• Переставна властивість: ab = ba.
• Сполучна властивість: (ab)c = a(bc).
• Множення на 1: a · 1 = a.
• Множення на -1: a · (–1) = –a.
• Множення на 0: a · 0 = 0.

У виразі, що є добутком числа і букв, число називають числовим коефіцієнтом (або просто коефіцієнтом). Коефіцієнт 1 зазвичай не пишуть.

Для будь-яких раціональних чисел a, b, c виконується рівність: a(b + c) = ab + ac. Це і є розподільна властивість.

Заміну виразу ab + ac на вираз a(b + c) називають винесенням спільного множника за дужки.

Доданки, що мають однакову буквену частину, називають подібними доданками.

Щоб звести подібні доданки, достатньо додати їх коефіцієнти і знайдений результат помножити на спільну буквену частину. Цю дію називають зведенням подібних доданків.

• Частка двох чисел з різними знаками є числом від'ємним.
• Частка двох від'ємних чисел є числом додатним.
• Щоб знайти модуль частки, потрібно модуль діленого поділити на модуль дільника.
• Ділити на 0 не можна.

1. Корені рівняння не зміняться, якщо його обидві частини помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число.
2. Корені рівняння не зміняться, якщо будь-який доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний.

1. Позначити одну з невідомих величин буквою (наприклад, x).
2. Виразити інші невідомі величини через цю букву.
3. Скласти рівняння, виходячи з умови задачі.
4. Розв’язати це рівняння.
5. Проаналізувати результат і дати відповідь на запитання задачі.
6. Перевірити відповідь за умовою задачі.

Прямі, що перетинаються під прямим кутом (90°), називають перпендикулярними. Перпендикулярність позначають знаком ⊥.

Дві прямі на площині, які не перетинаються, називають паралельними. Паралельність позначають знаком ||.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.

Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються в початку відліку, утворюють прямокутну систему координат. Площину, на якій задано таку систему, називають координатною площиною.

Горизонтальну вісь називають віссю абсцис (вісь Ox), а вертикальну — віссю ординат (вісь Oy).

Положення точки на площині задається парою чисел (x; y), які називають координатами точки. Перше число — абсциса, друге — ордината.

Осі координат розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями (або квадрантами).