ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №11 (Варіант 1)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер (2024).
Умова
1. Укажіть рівність, де правильно виконано підстановку для розв'язування системи рівнянь $\begin{cases} x = 4y - 3, \\ 2x + 7y = 9. \end{cases}$
А. $2(4y - 3) + 7(4y - 3) = 9$;
Б. $2(4y - 3) + 7y = 9$;
В. $2(4y + 3) + 7y = 9$;
Г. $2x + 7(4y - 3) = 9$.
2. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x + 7y = 3, \\ 3x - 14y = -20. \end{cases}$
3. Сума двох чисел дорівнює 75. Знайдіть ці числа, якщо 70 % від одного і 40 % від іншого разом становлять 42.
4. Пряма $y = kx + l$ проходить через точки $A(1; 5)$ і $B(-3; 13)$. Знайдіть $k$ і $l$.
Короткий розв'язок
1. Б. $2(4y - 3) + 7y = 9$.
2. $\begin{cases} 2x + 7y = 3, \\ 3x - 14y = -20; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x + 14y = 6, \\ 3x - 14y = -20; \end{cases} \Rightarrow 7x = -14 \Rightarrow x = -2$.
$2(-2) + 7y = 3 \Rightarrow -4 + 7y = 3 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1$.
Відповідь: $(-2; 1)$.
3. $\begin{cases} x + y = 75, \\ 0.7x + 0.4y = 42; \end{cases} \Rightarrow y = 75 - x \Rightarrow 0.7x + 0.4(75-x) = 42 \Rightarrow 0.7x + 30 - 0.4x = 42 \Rightarrow 0.3x = 12 \Rightarrow x = 40$.
$y = 75 - 40 = 35$.
Відповідь: 40 і 35.
4. $\begin{cases} 5 = k \cdot 1 + l, \\ 13 = k \cdot (-3) + l; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k + l = 5, \\ -3k + l = 13. \end{cases}$
$(k+l) - (-3k+l) = 5 - 13 \Rightarrow 4k = -8 \Rightarrow k = -2$.
$-2 + l = 5 \Rightarrow l = 7$.
Відповідь: $k = -2, l = 7$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо метод підстановки та метод додавання для розв'язування систем лінійних рівнянь. Задачі розв'язуємо складанням систем рівнянь.
1. За умовою, $x = 4y - 3$. Щоб виконати підстановку, потрібно у друге рівняння $2x + 7y = 9$ замість $x$ підставити вираз $(4y - 3)$.
Отримуємо: $2(4y - 3) + 7y = 9$.
Відповідь: Б.
2. Розв'яжемо систему методом додавання.
$\begin{cases} 2x + 7y = 3, & (1) \\ 3x - 14y = -20. & (2) \end{cases}$
Помножимо перше рівняння на 2, щоб коефіцієнти біля $y$ стали протилежними:
$\begin{cases} 4x + 14y = 6, \\ 3x - 14y = -20. \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$(4x + 3x) + (14y - 14y) = 6 + (-20)$
$7x = -14$
$x = -2$.
Підставимо $x = -2$ у перше рівняння (1):
$2(-2) + 7y = 3$
$-4 + 7y = 3$
$7y = 7$
$y = 1$.
Відповідь: $(-2; 1)$.
3. Нехай перше число – $x$, а друге – $y$.
За умовою, їх сума $x + y = 75$. (1)
70 % від $x$ – це $0.7x$. 40 % від $y$ – це $0.4y$.
За умовою, їх сума $0.7x + 0.4y = 42$. (2)
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} x + y = 75, \\ 0.7x + 0.4y = 42. \end{cases}$
З першого рівняння виразимо $y$: $y = 75 - x$.
Підставимо у друге рівняння:
$0.7x + 0.4(75 - x) = 42$
$0.7x + 30 - 0.4x = 42$
$0.3x = 12$
$x = \frac{12}{0.3} = \frac{120}{3} = 40$.
Тоді $y = 75 - 40 = 35$.
Відповідь: 40 і 35.
4. Якщо пряма $y = kx + l$ проходить через точки $A(1; 5)$ і $B(-3; 13)$, то координати цих точок задовольняють рівняння прямої.
Для точки $A(1; 5)$: $5 = k \cdot 1 + l \Rightarrow k + l = 5$. (1)
Для точки $B(-3; 13)$: $13 = k \cdot (-3) + l \Rightarrow -3k + l = 13$. (2)
Маємо систему рівнянь:
$\begin{cases} k + l = 5, \\ -3k + l = 13. \end{cases}$
Розв'яжемо методом додавання, віднявши друге рівняння від першого:
$(k - (-3k)) + (l - l) = 5 - 13$
$4k = -8$
$k = -2$.
Підставимо $k = -2$ у перше рівняння (1):
$-2 + l = 5$
$l = 7$.
Відповідь: $k = -2, l = 7$.
