ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер (2024).
Умова
1. $2 - (-m + a) = ...$
А) $-2 + m - a$; Б) $2 - m + a$; В) $2 + m + a$; Г) $2 + m - a$.
2. Зведіть многочлен до стандартного вигляду:
1) $7mn - 8mn + 4n^2$;
2) $8x^2 - 9x + 2x - 5x^2 - 3x^2$;
3) $4a^2 \cdot (-a)b^3 + 5b^2 \cdot 3b^4$.
3. Спростіть вираз $6x(2x - 1) + 10x - 4(3x^2 - 2x)$ та знайдіть його значення, якщо $x = -\frac{5}{6}$.
4. Доведіть, що для будь-яких значень $b$ різниця многочленів $0,9b^4 + b^3 - 0,3b^2 - 3$ і $0,7b^4 + b^3 - 0,5b^2 - 7$ набуває додатних значень. Якого найменшого значення набуває ця різниця і для якого значення $b$?
Короткий розв'язок
1. Г. $2 + m - a$.
2. 1) $-mn + 4n^2$; 2) $-7x$; 3) $-4a^3b^3 + 15b^6$.
3. $12x$; при $x = -\frac{5}{6}$, значення виразу $-10$.
4. $0,2b^4 + 0,2b^2 + 4 > 0$. Найменше значення $4$ при $b=0$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо правила додавання та віднімання многочленів, зведення многочлена до стандартного вигляду та множення одночлена на многочлен.
1. Розкриваємо дужки, перед якими стоїть знак мінус. При цьому знаки всіх доданків у дужках змінюються на протилежні.
$2 - (-m + a) = 2 + m - a$.
Відповідь: Г.
2.
1) $7mn - 8mn + 4n^2 = (7-8)mn + 4n^2 = -mn + 4n^2$.
2) $8x^2 - 9x + 2x - 5x^2 - 3x^2 = (8x^2 - 5x^2 - 3x^2) + (-9x + 2x) = (8-5-3)x^2 + (-9+2)x = 0 \cdot x^2 - 7x = -7x$.
3) $4a^2 \cdot (-a)b^3 + 5b^2 \cdot 3b^4 = -4a^{2+1}b^3 + 15b^{2+4} = -4a^3b^3 + 15b^6$.
3. Спростимо вираз, розкривши дужки та звівши подібні доданки:
$6x(2x - 1) + 10x - 4(3x^2 - 2x) = 12x^2 - 6x + 10x - 12x^2 + 8x$
$= (12x^2 - 12x^2) + (-6x + 10x + 8x) = 0 + 12x = 12x$.
Тепер знайдемо значення виразу при $x = -\frac{5}{6}$:
$12 \cdot (-\frac{5}{6}) = \frac{12 \cdot (-5)}{6} = 2 \cdot (-5) = -10$.
Відповідь: -10.
4. Складемо різницю многочленів:
$(0,9b^4 + b^3 - 0,3b^2 - 3) - (0,7b^4 + b^3 - 0,5b^2 - 7)$
$= 0,9b^4 + b^3 - 0,3b^2 - 3 - 0,7b^4 - b^3 + 0,5b^2 + 7$
$= (0,9-0,7)b^4 + (1-1)b^3 + (-0,3+0,5)b^2 + (-3+7)$
$= 0,2b^4 + 0,2b^2 + 4$.
Оскільки $b^4 \ge 0$ і $b^2 \ge 0$ для будь-якого значення $b$, то $0,2b^4 \ge 0$ і $0,2b^2 \ge 0$.
Тоді $0,2b^4 + 0,2b^2 + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$.
Отже, різниця завжди більша або дорівнює 4, а значить, завжди набуває додатних значень.
Найменшого значення вираз набуває, коли доданки $0,2b^4$ і $0,2b^2$ дорівнюють нулю. Це можливо лише при $b = 0$.
Найменше значення різниці: $0,2 \cdot 0^4 + 0,2 \cdot 0^2 + 4 = 4$.
Відповідь: Найменше значення дорівнює 4 при $b=0$.
