ГДЗ до вправи 12.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Л. ч. $= (\frac{a^{0,5} + 2}{(a^{0,5} + 1)^2} - \frac{a^{0,5} - 2}{(a^{0,5} - 1)(a^{0,5} + 1)}) \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} =$ $= \frac{(a^{0,5} + 2)(a^{0,5} - 1) - (a^{0,5} - 2)(a^{0,5} + 1)}{(a^{0,5} + 1)^2(a^{0,5} - 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} =$ $= \frac{a + a^{0,5} - 2 - (a - a^{0,5} - 2)}{(a^{0,5} + 1)(a - 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} = \frac{2a^{0,5}}{(a^{0,5} + 1)(a - 1)} \cdot \frac{a^{0,5} + 1}{a^{0,5}} = \frac{2}{a - 1}.$ $\frac{2}{a - 1} = \frac{2}{a - 1}.$ Доведено.

2) Л. ч. $= \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} + \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + b)}{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)} =$ $= \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} =$ $= \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(2a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 2b)}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} = 2(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}.$ $2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}}.$ Доведено.

• У першому пункті знаменники дробів у дужках розкладаються як квадрат суми та різниця квадратів відповідно.
• Після зведення до спільного знаменника та спрощення чисельника, виконується множення на обернений дріб, що призводить до скорочення виразів із змінною $a$.
• У другому пункті перший дріб спрощується шляхом розкладу різниці кубів у знаменнику та представлення чисельника через степені $a^{\frac{1}{2}}$ та $b^{\frac{1}{2}}$.
• Другий дріб спрощується аналогічно через різницю квадратів. Спільний множник $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ дозволяє об’єднати вирази та отримати кінцевий результат.