До змісту

ГДЗ до вправи 15.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 15.14

Розв’яжіть нерівність:

x−23+x3+8<4 \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8} < 4

Розв'язок вправи № 15.14

Коротке рішення

ОДЗ: x3+8≥0⇒x≥−2 \text{ОДЗ: } x^3 + 8 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2

f(x)=x−23+x3+8 f(x) = \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8}

y1=x−23↑;y2=x3+8↑ на [−2;+∞)⇒f(x)↑ y_1 = \sqrt[3]{x - 2} \uparrow; \quad y_2 = \sqrt{x^3 + 8} \uparrow \text{ на } [-2; +\infty) \Rightarrow f(x) \uparrow

f(2)=2−23+23+8=0+4=4 f(2) = \sqrt[3]{2 - 2} + \sqrt{2^3 + 8} = 0 + 4 = 4

f(x)<f(2)⇒x<2 f(x) < f(2) \Rightarrow x < 2

З урахуванням ОДЗ: x∈[−2;2) \text{З урахуванням ОДЗ: } x \in [-2; 2)

Відповідь: [−2;2) [-2; 2) .

Детальне рішення

Застосування властивостей монотонності функцій значно спрощує розв'язання ірраціональних нерівностей такого вигляду. Довідник: Ірраціональні нерівності.

Першим кроком визначаємо область допустимих значень (ОДЗ) підкореневого виразу для квадратного кореня.

Функція f(x) у лівій частині є сумою двох зростаючих функцій, тому вона сама є зростаючою на всій ОДЗ. Знаходимо "граничне" значення аргументу, при якому нерівність перетворюється на рівність: це число 2.

Оскільки функція зростає, значення менші за 4 вона набуває при аргументах, менших за 2. Об'єднуючи цю умову з ОДЗ, отримуємо кінцевий числовий проміжок.

Популярне у 10 класі