До змісту

ГДЗ до вправи 23.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 23.19

Спростіть вираз:

  1. tg 10∘+tg 50∘+3 tg 10∘ tg 50∘ \text{tg } 10^\circ + \text{tg } 50^\circ + \sqrt{3} \text{ tg } 10^\circ \text{ tg } 50^\circ ;
  2. tg 70∘−tg 25∘−tg 70∘ tg 25∘ \text{tg } 70^\circ - \text{tg } 25^\circ - \text{tg } 70^\circ \text{ tg } 25^\circ .

Розв'язок вправи № 23.19

Коротке рішення

1) tg 10∘+tg 50∘=tg(10∘+50∘)(1−tg 10∘ tg 50∘)= \text{tg } 10^\circ + \text{tg } 50^\circ = \text{tg}(10^\circ + 50^\circ)(1 - \text{tg } 10^\circ \text{ tg } 50^\circ) =
=3(1−tg 10∘ tg 50∘)=3−3 tg 10∘ tg 50∘= \sqrt{3}(1 - \text{tg } 10^\circ \text{ tg } 50^\circ) = \sqrt{3} - \sqrt{3} \text{ tg } 10^\circ \text{ tg } 50^\circ

3−3 tg 10∘ tg 50∘+3 tg 10∘ tg 50∘=3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \text{ tg } 10^\circ \text{ tg } 50^\circ + \sqrt{3} \text{ tg } 10^\circ \text{ tg } 50^\circ = \sqrt{3}

2) tg 70∘−tg 25∘=tg(70∘−25∘)(1+tg 70∘ tg 25∘)= \text{tg } 70^\circ - \text{tg } 25^\circ = \text{tg}(70^\circ - 25^\circ)(1 + \text{tg } 70^\circ \text{ tg } 25^\circ) =
=1(1+tg 70∘ tg 25∘)=1+tg 70∘ tg 25∘= 1(1 + \text{tg } 70^\circ \text{ tg } 25^\circ) = 1 + \text{tg } 70^\circ \text{ tg } 25^\circ

1+tg 70∘ tg 25∘−tg 70∘ tg 25∘=1 1 + \text{tg } 70^\circ \text{ tg } 25^\circ - \text{tg } 70^\circ \text{ tg } 25^\circ = 1

Детальне рішення

Для спрощення цих виразів використовуємо формули тангенса суми та різниці, виражаючи суму (або різницю) тангенсів через добуток. Довідник: Формули додавання.

  • У першому пункті сума кутів 10∘ 10^\circ та 50∘ 50^\circ дає табличне значення 60∘ 60^\circ , тангенс якого дорівнює 3 \sqrt{3} . Виразивши tg 10∘+tg 50∘ \text{tg } 10^\circ + \text{tg } 50^\circ через формулу тангенса суми, ми отримуємо доданки, які взаємно знищуються з рештою виразу.
  • У другому пункті різниця кутів 70∘ 70^\circ та 25∘ 25^\circ становить 45∘ 45^\circ , а tg 45∘=1 \text{tg } 45^\circ = 1 . Аналогічне перетворення дозволяє звести весь вираз до одиниці.

Популярне у 10 класі