До змісту

ГДЗ до вправи 30.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 30.19

Знайдіть область значень функції y=1arctg xy = \frac{1}{\text{arctg } x}.

Розв'язок вправи № 30.19

Коротке рішення

E(arctg x)=(−π2;π2)E(\text{arctg } x) = \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).

Оскільки arctg x≠0\text{arctg } x \neq 0, то arctg x∈(−π2;0)∪(0;π2)\text{arctg } x \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right) \cup \left( 0; \frac{\pi}{2} \right).

1) Якщо arctg x∈(0;π2)\text{arctg } x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right), то y∈(1π2;+∞)⇒y∈(2π;+∞)y \in \left( \frac{1}{\frac{\pi}{2}}; +\infty \right) \Rightarrow y \in \left( \frac{2}{\pi}; +\infty \right).

2) Якщо arctg x∈(−π2;0)\text{arctg } x \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right), то y∈(−∞;−2π)y \in \left( -\infty; -\frac{2}{\pi} \right).

Відповідь: E(y)=(−∞;−2π)∪(2π;+∞)E(y) = \left( -\infty; -\frac{2}{\pi} \right) \cup \left( \frac{2}{\pi}; +\infty \right).

Детальне рішення

Теоретичний довідник: Область значень функції y=1f(x)y = \frac{1}{f(x)} залежить від області значень функції f(x)f(x) та умови f(x)≠0f(x) \neq 0. При цьому враховується, що при наближенні знаменника до нуля значення дробу прямують до нескінченності. Довідник: Властивості обернених тригонометричних функцій.

  • Крок 1: Визначаємо базову область значень арктангенса. Він набуває будь-яких значень від −90∘-90^\circ до 90∘90^\circ (у радіанах (−π2;π2)\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)).
  • Крок 2: Оскільки арктангенс стоїть у знаменнику, він не може дорівнювати нулю. Це розбиває область значень на два відкритих інтервали: від'ємний та додатний.
  • Крок 3: Для додатних значень найменше число у знаменнику прямує до 0 (що дає +∞+\infty для дробу), а найбільше — до π2\frac{\pi}{2} (що дає 2π\frac{2}{\pi}). Аналогічно міркуємо для від'ємної частини.

Популярне у 10 класі