ГДЗ до вправи 30.43 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\text{arcctg } x = \frac{\pi}{2} - \text{arctg } x$. Нехай $\text{arctg } x = t, \quad t \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$.

$t \left( \frac{\pi}{2} - t \right) = -\frac{5\pi^2}{18} \Rightarrow \frac{\pi}{2} t - t^2 + \frac{5\pi^2}{18} = 0$

$18t^2 - 9\pi t - 5\pi^2 = 0, \quad D = 81\pi^2 + 360\pi^2 = 441\pi^2, \quad \sqrt{D} = 21\pi$

$t_1 = \frac{9\pi - 21\pi}{36} = -\frac{\pi}{3}; \quad t_2 = \frac{9\pi + 21\pi}{36} = \frac{5\pi}{6}$.

Оскільки $t \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$, то підходить лише $t = -\frac{\pi}{3}$.

$\text{arctg } x = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \text{tg} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$.

Відповідь: $-\sqrt{3}$.

• Крок 1: Використовуємо властивість $\text{arctg } x + \text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}$ та зводимо рівняння до квадратного відносно нової змінної $t$.
• Крок 2: Після обчислення дискримінанта отримуємо два корені. Надзвичайно важливо відсіяти зайвий корінь, який не входить в область значень арктангенса $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$.
• Крок 3: Для залишеного кореня знаходимо $x$ через значення тангенса відповідного табличного кута.