До змісту

ГДЗ до вправи 30.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 30.8

Знайдіть область значень функції:

  1. y=arcctg x+4y = \text{arcctg } x + 4;
  2. y=−arctg xy = \sqrt{-\text{arctg } x}.

Розв'язок вправи № 30.8

Коротке рішення

1) 0<arcctg x<π⇒4<y<4+π0 < \text{arcctg } x < \pi \Rightarrow 4 < y < 4 + \pi.

Відповідь: E(y)=(4;4+π)E(y) = (4; 4 + \pi).

2) −arctg x≥0⇒arctg x≤0⇒−π2<arctg x≤0-\text{arctg } x \ge 0 \Rightarrow \text{arctg } x \le 0 \Rightarrow -\frac{\pi}{2} < \text{arctg } x \le 0.

0≤−arctg x<π2⇒0≤−arctg x<π20 \le -\text{arctg } x < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 \le \sqrt{-\text{arctg } x} < \sqrt{\frac{\pi}{2}}.

Відповідь: E(y)=[0;π2)E(y) = \left[ 0; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right).

Детальне рішення

Знаходження області значень вимагає врахування властивостей базових тригонометричних функцій та обмежень ОДЗ для складних виразів. Теорія: Область значень функцій.

  • У першому пункті використовуємо область значень арккотангенса — інтервал (0;π)(0; \pi). Додаючи число 4 до кожної частини нерівності, отримуємо межі області значень усієї функції.
  • У другому пункті підкореневий вираз −arctg x-\text{arctg } x повинен бути невід'ємним. Це можливо лише для значень арктангенса з проміжку (−π2;0](-\frac{\pi}{2}; 0]. При зміні знаку на протилежний аргумент під коренем набуває значень [0;π2)[0; \frac{\pi}{2}), що і визначає кінцевий результат після добування кореня.

Популярне у 10 класі