ГДЗ до вправи 31.23 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{-\cos 2x} = -\sqrt{2} \cos x$

$\begin{cases} \cos x \le 0 \\ -\cos 2x = 2 \cos^2 x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos x \le 0 \\ -(2\cos^2 x - 1) = 2 \cos^2 x \end{cases} \Rightarrow$
$\begin{cases} \cos x \le 0 \\ 4\cos^2 x = 1 \end{cases} \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sqrt{2 - 3 \cos 2x} = \sqrt{\sin x}$

$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ 2 - 3 \cos 2x = \sin x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ 2 - 3(1 - 2\sin^2 x) = \sin x \end{cases} \Rightarrow$
$6\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$\sin x = \frac{1}{2} \text{ або } \sin x = -\frac{1}{3} \text{ (н/в)} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті права частина $-\sqrt{2}\cos x$ має бути невід'ємною, що обмежує значення косинуса ($\cos x \le 0$). Піднесення до квадрата та використання формули подвійного кута дозволяють знайти корені, серед яких ми обираємо ті, що задовольняють умову.
• У другому пункті ми прирівнюємо підкореневі вирази, враховуючи ОДЗ ($\sin x \ge 0$). Рівняння зводиться до квадратного відносно $\sin x$. Від'ємний корінь відкидається через початкову умову невід'ємності синуса.