ГДЗ до вправи 32.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 7x + \sqrt{3} \cos 7x = \sqrt{2} (\sin 5x + \cos 5x) \Rightarrow$
$2 \sin(7x + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(5x + \frac{\pi}{4})$

$\sin(7x + \frac{\pi}{3}) - \sin(5x + \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow 2 \sin(x + \frac{\pi}{24}) \cos(6x + \frac{7\pi}{24}) = 0$.

Відповідь: $-\frac{\pi}{24} + \pi n; \frac{5\pi}{144} + \frac{\pi k}{6}, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $2 \sin 3x + (\sin x + \sqrt{3} \cos x) = \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x \Rightarrow$
$2 \sin 3x + 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6})$

$\sin 3x + \sin(x + \frac{\pi}{3}) - \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = 0 \Rightarrow$
$2 \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = 0$

$\sin(2x + \frac{\pi}{6}) (2 \cos(x - \frac{\pi}{6}) - 1) = 0 \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{6} = \pi n;$
$x - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Відповідь: $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, n, k, m \in \mathbb{Z}$.

---

3) $2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cos x + 4 \sin 2x = \sin x \Rightarrow 2\sqrt{3} + 4 \sin 2x = \sin x + \sqrt{3} \cos x$

$2\sqrt{3} + 4 \sin 2x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \Rightarrow \sqrt{3} + 2 \sin 2x = \sin(x + \frac{\pi}{3})$.
Рівність досягається при $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

Відповідь: $-\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті ліву та праву частини рівняння незалежно перетворюють за допомогою допоміжних кутів $\frac{\pi}{3}$ та $\frac{\pi}{4}$ відповідно. Отримане рівняння $\sin A = \sin B$ розв'язується через перетворення різниці синусів у добуток.
• У другому пункті після групування доданків та введення допоміжного кута виділяється спільний множник $\sin(2x + \frac{\pi}{6})$, що дозволяє розбити рівняння на дві простіші частини.
• У третьому пункті перетворення правої частини дозволяє проаналізувати значення виразів. Підбір значень показує, що серія коренів $-\frac{\pi}{3} + \pi n$ перетворює обидві частини рівняння в одне і те саме число.