До змісту

ГДЗ до вправи 32.35 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 32.35

Розв’яжіть рівняння:

  1. sin⁡2x1−cos⁡2x=0\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0;
  2. sin⁡2x+sin⁡x1+cos⁡x=0\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0;
  3. 8sin⁡xcos⁡xsin⁡2x−13+2sin⁡4x=0\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0;
  4. sin⁡2x1+sin⁡x=−2cos⁡x\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2 \cos x.

Розв'язок вправи № 32.35

Коротке рішення

1) sin⁡2x1−cos⁡2x=0⇒{sin⁡2x=01−cos⁡2x≠0⇒{2x=πn2x≠2πk⇒2x=π+2πk⇒\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0 \Rightarrow \begin{cases} \sin 2x = 0 \\ 1 - \cos 2x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi n \\ 2x \neq 2\pi k \end{cases} \Rightarrow 2x = \pi + 2\pi k \Rightarrow
x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k

Відповідь: π2+πk,k∈Z\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.

2) sin⁡2x+sin⁡x1+cos⁡x=0⇒{sin⁡x(sin⁡x+1)=0cos⁡x≠−1⇒{x=πn або x=−π2+2πkx≠π+2πm\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0 \Rightarrow \begin{cases} \sin x (\sin x + 1) = 0 \\ \cos x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \pi n \text{ або } x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x \neq \pi + 2\pi m \end{cases}

Корені: x=2πn;x=−π2+2πkx = 2\pi n; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k.

Відповідь: 2πn;−π2+2πk,n,k∈Z2\pi n; -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}.

3) 8sin⁡xcos⁡xsin⁡2x−13+2sin⁡4x=0⇒{4sin⁡22x−1=0sin⁡4x≠−32⇒{cos⁡4x=12sin⁡4x≠−32⇒\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0 \Rightarrow \begin{cases} 4 \sin^2 2x - 1 = 0 \\ \sin 4x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos 4x = \frac{1}{2} \\ \sin 4x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Rightarrow
sin⁡4x=32\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}

4x=(−1)kπ3+πk⇒x=(−1)kπ12+πk44x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}.

Відповідь: (−1)kπ12+πk4,k∈Z(-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}.

4) sin⁡2x1+sin⁡x=−2cos⁡x⇒{2sin⁡xcos⁡x=−2cos⁡x(1+sin⁡x)sin⁡x≠−1⇒\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2 \cos x \Rightarrow \begin{cases} 2 \sin x \cos x = -2 \cos x (1 + \sin x) \\ \sin x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow
2cos⁡x(2sin⁡x+1)=02 \cos x (2 \sin x + 1) = 0

— cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n; — sin⁡x=−12⇒x=(−1)n+1π6+πn\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n.

Відповідь: π2+πn;(−1)n+1π6+πn,n∈Z\frac{\pi}{2} + \pi n; (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.

Детальне рішення

Теоретичний довідник: Рівняння виду f(x)g(x)=0\frac{f(x)}{g(x)} = 0 рівносильне системі {f(x)=0g(x)≠0\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}. При знаходженні коренів тригонометричних рівнянь необхідно обов'язково виключати ті значення, які перетворюють знаменник на нуль. Докладніше: Дробово-раціональні рівняння.

  • У першому та другому рівняннях умови cos⁡2x≠1\cos 2x \neq 1 та cos⁡x≠−1\cos x \neq -1 вилучають «зайві» корені, що збігаються з точками розриву тангенса або котангенса.
  • У третьому рівнянні чисельник згортається за формулою квадрата синуса подвійного кута. Умова знаменника вимагає відбору лише однієї серії значень синуса 4x4x.
  • У четвертому рівнянні після множення на знаменник отримуємо добуток, рівний нулю. Оскільки sin⁡x≠−1\sin x \neq -1, усі знайдені корені входять до відповіді.

Популярне у 10 класі