ГДЗ до вправи 32.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{1}{2} + (1 - \cos^2 2x) \Rightarrow \cos 4x \cos 2x + \cos^2 2x = 0$

$\cos 2x (\cos 4x + \cos 2x) = 0 \Rightarrow 2 \cos 2x \cos 3x \cos x = 0$

Відповідь: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{2} + \pi m, n, k, m \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x \Rightarrow 2 \sin(x + \frac{\pi}{8}) \cos(x + \frac{\pi}{8}) - \sin x = 0$ $\dots$ $\sin(2x + \frac{\pi}{4}) - \sin x = 0$

$2 \sin \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} \cos \frac{3x + \frac{\pi}{4}}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Відповідь: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

3) $1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x = 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x \Rightarrow$
$(\cos 2x - \cos 8x) + (\cos 4x - \cos 6x) = 0$

$2 \sin 5x \sin 3x + 2 \sin 5x \sin x = 0 \Rightarrow 4 \sin 5x \sin 2x \cos x = 0$.

Відповідь: $\frac{\pi n}{5}, \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{2} + \pi m, n, k, m \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\sin 6x = 2 \sin 2x \Rightarrow 3 \sin 2x - 4 \sin^3 2x = 2 \sin 2x \Rightarrow$
$\sin 2x (1 - 4 \sin^2 2x) = 0$

— $\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2};$
— $\sin^2 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos 4x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.

Відповідь: $\frac{\pi n}{2}, \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому та третьому рівняннях застосовано формули $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. Це дозволило перейти до лінійних виразів та згрупувати їх для винесення спільного множника.
• У другому рівнянні використано метод допоміжного кута для лівої частини, що звело задачу до рівності двох синусів.
• У четвертому рівнянні спочатку застосовано формулу зведення $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$, а потім — формулу синуса потрійного аргументу.