ГДЗ до вправи 33.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 2x - \sin 3x > 0$

$2 \sin \left( \frac{2x - 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{2x + 3x}{2} \right) > 0 \Rightarrow -2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{5x}{2} > 0 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} \cos \frac{5x}{2} < 0$

За методом інтервалів на колі:

Відповідь: $\left( \frac{2\pi}{5} + \frac{4\pi n}{5}; \frac{3\pi}{5} + \frac{4\pi n}{5} \right) \cup \left( \pi + 2\pi n; \frac{6\pi}{5} + 2\pi n \right) ... \text{ (періодична сукупність)}$.

---

2) $\cos 2x \text{ tg } x > 0$

$\frac{(1 - 2\sin^2 x) \sin x}{\cos x} > 0 \Rightarrow \frac{(\sqrt{2}\sin x - 1)(\sqrt{2}\sin x + 1) \sin x}{\cos x} < 0$

Відповідь: $\left( \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n \right) \cup \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

---

3) $1 - \sin 2x \geqslant \cos x - \sin x$

$(\cos x - \sin x)^2 - (\cos x - \sin x) \geqslant 0 \Rightarrow$
$(\cos x - \sin x)(\cos x - \sin x - 1) \geqslant 0$

Відповідь: $\left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi n \right] \cup \left[ \frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n \right], n \in \mathbb{Z}$.

---

4) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x > 0$

$(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x > 0 \Rightarrow 2\sin 2x \cos x + \sin 2x > 0 \Rightarrow$
$\sin 2x (2\cos x + 1) > 0$

Відповідь: $\left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right), n \in \mathbb{Z}$.

• У першому та четвертому пунктах використано формули суми синусів для групування доданків.
• У другому пункті нерівність зведена до дробово-раціональної відносно функцій $\sin x$ та $\cos x$.
• У третьому пункті вираз $1 - \sin 2x$ замінено на повний квадрат $(\cos x - \sin x)^2$, що дозволяє винести спільний множник за дужки.