ГДЗ до вправи 39.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 39.10
Доведіть, що функція є спадною:
1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$;
2) $f(x) = \sin 2x - 3x$.
Розв'язок вправи № 39.10
Коротке рішення
1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$
$f'(x) = -1 + x - x^2 = -(x^2 - x + 1)$.
Для виразу $x^2 - x + 1$: $D = 1^2 - 4 = -3 < 0$. Оскільки коефіцієнт при $x^2$ додатний, то $x^2 - x + 1 > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.
Отже, $f'(x) = -(x^2 - x + 1) < 0$ для всіх $x$, що доводить спадання функції. Доведено.
2) $f(x) = \sin 2x - 3x$
$f'(x) = 2 \cos 2x - 3$.
Оскільки $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $-2 \le 2 \cos 2x \le 2$.
Віднімемо 3 від усіх частин: $-5 \le 2 \cos 2x - 3 \le -1$.
Оскільки $f'(x) \le -1 < 0$ для будь-якого $x$, функція є спадною.
Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Доведення спадання функції на всьому проміжку $\mathbb{R}$ полягає у встановленні того факту, що її похідна завжди від'ємна. Теорія: Достатня умова спадання функції.
- У першому пункті похідна є квадратним тричленом з від'ємним дискримінантом та від'ємним першим коефіцієнтом. Це гарантує, що парабола завжди знаходиться нижче осі $Ox$.
- У другому пункті ми оцінюємо область значень похідної, виходячи з обмеженості функції косинуса. Максимально можливе значення похідної менше за нуль, що підтверджує спадання.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.