ГДЗ до вправи 39.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

$f'(x) = -1 + x - x^2 = -(x^2 - x + 1)$.

Для виразу $x^2 - x + 1$: $D = 1^2 - 4 = -3 < 0$. Оскільки коефіцієнт при $x^2$ додатний, то $x^2 - x + 1 > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.

Отже, $f'(x) = -(x^2 - x + 1) < 0$ для всіх $x$, що доводить спадання функції. Доведено.

---

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$

$f'(x) = 2 \cos 2x - 3$.

Оскільки $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $-2 \le 2 \cos 2x \le 2$.

Віднімемо 3 від усіх частин: $-5 \le 2 \cos 2x - 3 \le -1$.

Оскільки $f'(x) \le -1 < 0$ для будь-якого $x$, функція є спадною.

Доведено.

• У першому пункті похідна є квадратним тричленом з від'ємним дискримінантом та від'ємним першим коефіцієнтом. Це гарантує, що парабола завжди знаходиться нижче осі $Ox$.
• У другому пункті ми оцінюємо область значень похідної, виходячи з обмеженості функції косинуса. Максимально можливе значення похідної менше за нуль, що підтверджує спадання.